Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F．

（1）连接OA、OB，则∠AOB＝　 ．

（2）若BD＝6，AD＝4，求⊙O的半径r．

Answer 1

【答案】（1）135°；（2）r＝2

【解析】

（1）根据三角形的内心的性质即可解答.

（2）连接，根据圆的切线的性质和角平分线的性质，加之为直角证明四边形为正方形，设，用表示出的三边，运用勾股定理列方程解答即可.

解：（1）

∵⊙O是△ABC的内切圆，

∴O为△ACB的内心，

∴∠OBA＝∠ABC，∠OAB＝∠CAB，

∵∠C＝90°，

∴∠CAB+∠CBA＝90°，

∴∠OBA+∠OAB＝×90°＝45°，

∴∠AOB＝180°﹣∠45°＝135°，

故答案为：135°；

（2）连接EO，FO，

∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，

∴OE⊥BC，OF⊥AC，BD＝BE，AD＝AF，EC＝CF，

又∵∠C＝90°，

∴四边形ECFO是矩形，

又∵EO＝FO，

∴矩形OECF是正方形，

设EO＝x，

则EC＝CF＝x，

在Rt△ABC中

BC2+AC2＝AB2

故（x+6）2+（x+4）2＝102，

解得：x＝2，

即⊙O的半径r＝2．