Question

6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB上，OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转．当$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$时，$\frac{OP}{OQ}$的值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$；当$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{n}$时，$\frac{OP}{OQ}$的值为$\frac{\sqrt{3}}{n}$．（用含n的式子表示）

Answer 1

分析 作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，由OD∥BC，OE∥AC易得△AOD∽△ABC，△BOE∽△BAC，根据相似的性质得$\frac{OD}{BC}$=$\frac{AO}{BC}$，$\frac{OE}{AC}$=$\frac{BO}{BA}$，由于$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{n}$，则$\frac{OD}{BC}$=$\frac{1}{n+1}$，$\frac{OE}{AC}$=$\frac{n}{n+1}$，所以$\frac{OD}{OE}$=$\frac{BC}{n•AC}$，在Rt△ABC中，利用正切的定义得tanB=tan30°=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{BC}{AC}$=$\sqrt{3}$，所以$\frac{OD}{OE}$=$\frac{\sqrt{3}}{n}$；利用等角的余角相等得到∠DOP=∠QOE，则Rt△DOP∽Rt△EOQ，则$\frac{OP}{OQ}$=$\frac{OD}{OE}$=$\frac{\sqrt{3}}{n}$，且当n=2时，即$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$时，$\frac{OP}{OQ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

解答 解：作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，如图，
∵∠ACB=90°，
∴OD∥BC，OE∥AC，
∴△AOD∽△ABC，△BOE∽△BAC，
∴$\frac{OD}{BC}$=$\frac{AO}{BC}$，$\frac{OE}{AC}$=$\frac{BO}{BA}$，
∵$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{OA}{AB}$=$\frac{1}{n+1}$，$\frac{OB}{AB}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴$\frac{OD}{BC}$=$\frac{1}{n+1}$，$\frac{OE}{AC}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴$\frac{OD}{OE}$=$\frac{BC}{n•AC}$．
在Rt△ABC中，tanB=tan30°=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{BC}{AC}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{OD}{OE}$=$\frac{\sqrt{3}}{n}$；
∵∠POQ=90°，
而∠DOE=90°，
∴∠DOP=∠QOE，
∴Rt△DOP∽Rt△EOQ，
∴$\frac{OP}{OQ}$=$\frac{OD}{OE}$=$\frac{\sqrt{3}}{n}$，
∴当n=2时，即$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$时，$\frac{OP}{OQ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{n}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比．