Question

【题目】如图，在中，半径直径与相切于点连接交于点交于点，连接并延长交于点，连接．

求证： ；

若

①求证：四边形是平行四边形；

②连接，当的半径为时，求的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②

【解析】

（1）先利用切线的性质得到OD⊥CD，再证明AB∥CD，然后利用平行线的性质和圆周角定理得到结论；

（2）①设⊙O的半径为r，利用正切的定义得到OG＝r，则DG＝r，则CD＝3DG＝2r，然后根据平行线的判定得到结论；

②作直径DH，连接HE，如图，先计算出AG＝，CG＝2，再证明△CDE∽△CAD，然后利用相似比计算DE的长．

证明： 与相切于点，

，

半径直径，

，

，

，

；

证明：，

设的半径为，

在中，

在中，

，

，

而，

四边形是平行四边形：

作直径连接，如图，

∵，半径为3

∴

∵四边形是平行四边形，OD⊥CD，

∴，

为直径，

，

，

，

，

，

而

，

，即

．