Question

20．阅读材料并解答问题：
与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，…，与正n边形各边都相切的圆叫做正n边形的内切圆，设正n（n≥3）边形的面积为S_正n边形，其内切圆的半径为r，试探索正n边形的面积．（结果可用三角函数表示）
如图①，当n=3时，设AB切圆O于点C，连结OC，OA，OB，∴OC⊥AB，OA=OB，∴$∠AOC=\frac{1}{2}AOB$，AB=2BC．
在Rt△AOC中，∵$∠AOC=\frac{1}{2}•\frac{{{{360}°}}}{3}={60°}$，OC=r，∴AC=r•tan60°，AB=2r•tan60°，∴${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}•r•2rtan{60°}={r^2}tan{60°}$，∴${S_{正三角形}}=3{S_{△OAB}}=3{r^2}•tan{60°}$．
（1）如图②，当n=4时，仿照（1）中的方法和过程可求得：S_正四边形=4r²；
（2）如图③，当n=5时，仿照（1）中的方法和过程求S_正五边形；
（3）如图④，根据以上探索过程，请直接写出S_正n边形=nr²tan$\frac{180°}{n}$．

Answer 1

分析 （1）如图②，要求正四边形的面积，只需求△OAB的面积，只需求AB，根据等腰三角形的性质可得AB=2AC，只需在Rt△AOC中求出∠AOC，然后运用三角函数即可解决问题；
（2）如图③，要求正五边形的面积，只需求△OAB的面积，只需求AB，根据等腰三角形的性质可得AB=2AC，只需在Rt△AOC中求出∠AOC，然后运用三角函数即可解决问题；
（3）如图④，要求正n边形的面积，只需求△OAB的面积，只需求AB，根据等腰三角形的性质可得AB=2AC，只需在Rt△AOC中求出∠AOC，然后运用三角函数即可解决问题．

解答 解：（1）当n=4时，设AB切圆O于点C，连结OC、OA、OB，如图②，

则有OC⊥AB，OA=OB，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，AB=2AC．
在Rt△AOC中，
∵∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}•$$\frac{360°}{4}$=45°，OC=r，
∴AC=r•tan45°，AB=2r•tan45°，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•r•2r•tan45°=r²tan45°，
∴S_正四边形=4S_△OAB=4r²tan45°=4r²．
故答案为4r²；

（2）当n=5时，设AB切圆O于点C，连结OC、OA、OB，如图③，

则有OC⊥AB，OA=OB，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，AB=2AC．
在Rt△AOC中，
∵∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}•$$\frac{360°}{5}$=36°，OC=r，
∴AC=r•tan36°，AB=2r•tan36°，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•r•2r•tan36°=r²tan36°，
∴S_正五边形=5S_△OAB=5r²tan36°；

（3）设AB切圆O于点C，连结OC、OA、OB，如图④，

则有OC⊥AB，OA=OB，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，AB=2AC．
在Rt△AOC中，
∵∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}•$$\frac{360°}{n}$=$\frac{180°}{n}$，OC=r，
∴AC=r•tan$\frac{180°}{n}$，AB=2r•tan$\frac{180°}{n}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•r•2r•tan$\frac{180°}{n}$=r²tan$\frac{180°}{n}$，
∴S_正n边形=nS_△OAB=nr²tan$\frac{180°}{n}$．
故答案为S_正n边形=nr²tan$\frac{180°}{n}$．

点评 本题主要考查了正多边形和圆、锐角三角函数、切线的性质、等腰三角形的性质等知识，运用已有的经验解决问题是解决本题的关键．