Question

3．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE=OD．
（1）求证：OP=OG；
（2）若设AP为x，试求CG（用含x的代数式表示）；
（3）求AP的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，由折叠的性质得出△ABP≌△EBP，得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP=OG；
（2）由全等三角形的性质得出PD=GE，得出DG=EP，设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，得出CG=8-x，BG=2+x；
（3）由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，
∵△ABP沿BP翻折至△EBP，
∴△ABP≌△EBP，
∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，
在△ODP和△OEG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠E}\\{OD=OE}\\{∠DOP=∠EOG}\end{array}\right.$，
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP=OG；
（2）解：∵△ODP≌△OEG，
∴PD=GE，
∴DG=EP，
设AP=EP=x，则PD=GE=6-x，DG=x，
∴CG=8-x，BG=8-（6-x）=2+x；
（3）解：由勾股定理得：BC²+CG²=BG²，
即6²+（8-x）²=（x+2）²，
解得：x=4.8，
∴AP=4.8．

点评 本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．