Question

12．已知：如图，⊙O₁与⊙O₂内切于点T，⊙O₁的弦TA、TB交⊙O₂于点C和D，若DC=5，$\frac{TC}{TA}$=$\frac{2}{3}$，求AB的长．

Answer 1

分析 过点T作两圆的公切线MN，连接AB，根据弦切角定理得到∠A=∠BTN，∠TCD=∠NTD，等量代换得到∠A=∠TCD，根据平行线的判定得到CD∥AB，推出△TCD∽△TAB，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：过点T作两圆的公切线MN，连接AB，
∵⊙O₁的弦TA、TB交⊙O₂于点C和D，
∴∠A=∠BTN，∠TCD=∠NTD，
∴∠A=∠TCD，
∴CD∥AB，
∴△TCD∽△TAB，
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{TC}{TA}$=$\frac{2}{3}$，
∵CD=5，
∴AB=$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查了相切两圆的性质，切线的性质，弦切角定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．