Question

如图，已知正六边形ABCDEF的面积为a，AB、CD、EF所在的直线围成△PQR，求△PQR的面积．

Answer 1

考点：等边三角形的判定与性质

专题：

分析：连接BE，则四边形AFEB的面积=

1

2

a，根据正六边形的性质得出正六边形ABCDEF的各边都相等，每个内角都是120°，进而得出△APF、△BQC、△DRE是等边三角形，然后通过△PAF∽△PBE，求得小三角形的面积，即可求得△PQR的面积．

解答：解：连接BE，则四边形AFEB的面积=

1

2

a，
∵正六边形ABCDEF的各边都相等，每个内角都是120°，
∴△APF、△BQC、△DRE是等边三角形，
∴PF=PA=AB=FE，
∴AF∥BE，
设△APF的面积为S₁，
∴

S1

S1+ a 2

=

1

4

，
解得S₁=

a

6

，
∴△PQR的面积=

a

6

×3+a=

3

2

a．

点评：本题考查了等边三角形的判定和性质，正六边形的性质，三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建相似三角形是本题的关键．