Question

如图，在直径为2的⊙O中有两条弦AB、CD，AB=1，CD=

2

．
（1）分别求出弦CD所对的圆心角的度数和弦AB所对应的圆周角的度数；
（2）以O为中心旋转其中一条弦，使两条弦的一个端点重合，画出旋转后的图形，并直接写出此时两弦所夹的圆周角的度数．

Answer 1

考点：作图-旋转变换,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理

专题：

分析：（1）利用等边三角形的性质以及直角三角形的判定方法结合圆周角定理得出答案；
（2）利用（1）中所求，结合题意画出图形进而得出答案．

解答：解：（1）如图1所示：
连接BO，AO，DO，CO，
∵直径为2的⊙O中有两条弦AB、CD，AB=1，CD=

2

，
∴AB=CO=BO=1，CO=DO=1，
∴△AOB是等边三角形，CO²+DO²=CD²，则△COD是直角三角形，
∴∠AOB=60°，∠COD=90°，
∴弦CD所对的圆心角为90°，弦AB所对的圆周角为：30°或150°；

（2）如图2所示：由（1）得：
∠ADC=60°+45°=105°，
如图3所示：由（1）得：
∠BDC=60°-45°=15°，
则两弦所夹的圆周角的度数为105°或15°．

点评：此题主要考查了旋转变换以及圆周角定理和等边三角形的性质以及直角三角形的判定等知识，利用分类讨论得出是解题关键．