Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1 ， 再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2 ， …，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn ． 下列结论正确的有（ ）
①四边形A2B2C2D2是矩形；
②四边形A4B4C4D4是菱形；
③四边形A5B5C5D5的周长是 ，
④四边形AnBnCnDn的面积是 ．

A.①②③
B.②③④
C.①②
D.②③

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①连接A1C1 ， B1D1 ． ∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1 ，
∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；
∴A1D1∥B1C1 ， A1B1∥C1D1 ，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；
∵AC丄BD，∴四边形A1B1C1D1是矩形，
∴B1D1=A1C1（矩形的两条对角线相等）；
∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位线定理），
∴四边形A2B2C2D2是菱形；
故本选项错误；②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；
∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；
故本选项正确；③根据中位线的性质易知，A5B5= A3B3= A1B1= AC，B5C5= B3C3= B1C1= BD，
∴四边形A5B5C5D5的周长是2× （a+b）= ，
故本选项正确；④∵四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S四边形ABCD=ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形AnBnCnDn的面积是 ，
故本选项正确；
综上所述，②③④正确．
故选：B．