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【题目】如图,在矩形ABCD中,点O为坐标原点,点B的坐标为(4,3),点A、C在坐标轴上,点P在BC边上,直线l1:y=2x+3,直线l2:y=2x﹣3.

(1)分别求直线l1与x轴,直线l2与AB的交点坐标;
(2)已知点M在第一象限,且是直线l2上的点,若△APM是等腰直角三角形,求点M的坐标;
(3)我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F.已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上,Q是坐标平面内的点,且N点的横坐标为x,请直接写出x的取值范围(不用说明理由).

【答案】
(1)

解:直线l1:当y=0时,2x+3=0,x=﹣

则直线l1与x轴坐标为(﹣ ,0)

直线l2:当y=3时,2x﹣3=3,x=3

则直线l2与AB的交点坐标为(3,3)


(2)

解:①若点A为直角顶点时,点M在第一象限,连结AC,

如图1,

∠APB>∠ACB>45°,

∴△APM不可能是等腰直角三角形,

∴点M不存在;

②若点P为直角顶点时,点M在第一象限,如图2,

过点M作MN⊥CB,交CB的延长线于点N,

则Rt△ABP≌Rt△PNM,

∴AB=PN=4,MN=BP,

设M(x,2x﹣3),则MN=x﹣4,

∴2x﹣3=4+3﹣(x﹣4),

x=

∴M( );

③若点M为直角顶点时,点M在第一象限,如图3,

设M1(x,2x﹣3),

过点M1作M1G1⊥OA,交BC于点H1

则Rt△AM1G1≌Rt△PM1H1

∴AG1=M1H1=3﹣(2x﹣3),

∴x+3﹣(2x﹣3)=4,

x=2

∴M1(2,1);

设M2(x,2x﹣3),

同理可得x+2x﹣3﹣3=4,

∴x=

∴M2 );

综上所述,点M的坐标为( ),(2,1),(


(3)

解:x的取值范围为﹣ ≤x<0或0<x≤ ≤x≤ ≤x≤2


【解析】考查了四边形综合题,涉及的知识点有:坐标轴上点的坐标特征,等腰直角三角形的性质,矩形的性质,分类思想的应用,方程思想的应用,综合性较强,有一定的难度.(1)根据坐标轴上点的坐标特征可求直线l1与x轴,直线l2与AB的交点坐标;(2)分三种情况:①若点A为直角顶点时,点M在第一象限;若点P为直角顶点时,点M在第一象限;③若点M为直角顶点时,点M在第一象限;进行讨论可求点M的坐标;(3)根据矩形的性质可求N点的横坐标x的取值范围.

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