【题目】如图,在矩形ABCD中,点O为坐标原点,点B的坐标为(4,3),点A、C在坐标轴上,点P在BC边上,直线l1:y=2x+3,直线l2:y=2x﹣3.
(1)分别求直线l1与x轴,直线l2与AB的交点坐标;
(2)已知点M在第一象限,且是直线l2上的点,若△APM是等腰直角三角形,求点M的坐标;
(3)我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F.已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上,Q是坐标平面内的点,且N点的横坐标为x,请直接写出x的取值范围(不用说明理由).
【答案】
(1)
解:直线l1:当y=0时,2x+3=0,x=﹣
则直线l1与x轴坐标为(﹣ ,0)
直线l2:当y=3时,2x﹣3=3,x=3
则直线l2与AB的交点坐标为(3,3)
(2)
解:①若点A为直角顶点时,点M在第一象限,连结AC,
如图1,
∠APB>∠ACB>45°,
∴△APM不可能是等腰直角三角形,
∴点M不存在;
②若点P为直角顶点时,点M在第一象限,如图2,
过点M作MN⊥CB,交CB的延长线于点N,
则Rt△ABP≌Rt△PNM,
∴AB=PN=4,MN=BP,
设M(x,2x﹣3),则MN=x﹣4,
∴2x﹣3=4+3﹣(x﹣4),
x= ,
∴M( , );
③若点M为直角顶点时,点M在第一象限,如图3,
设M1(x,2x﹣3),
过点M1作M1G1⊥OA,交BC于点H1,
则Rt△AM1G1≌Rt△PM1H1,
∴AG1=M1H1=3﹣(2x﹣3),
∴x+3﹣(2x﹣3)=4,
x=2
∴M1(2,1);
设M2(x,2x﹣3),
同理可得x+2x﹣3﹣3=4,
∴x= ,
∴M2( , );
综上所述,点M的坐标为( , ),(2,1),( , )
(3)
解:x的取值范围为﹣ ≤x<0或0<x≤ 或 ≤x≤ 或 ≤x≤2
【解析】考查了四边形综合题,涉及的知识点有:坐标轴上点的坐标特征,等腰直角三角形的性质,矩形的性质,分类思想的应用,方程思想的应用,综合性较强,有一定的难度.(1)根据坐标轴上点的坐标特征可求直线l1与x轴,直线l2与AB的交点坐标;(2)分三种情况:①若点A为直角顶点时,点M在第一象限;若点P为直角顶点时,点M在第一象限;③若点M为直角顶点时,点M在第一象限;进行讨论可求点M的坐标;(3)根据矩形的性质可求N点的横坐标x的取值范围.
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【题目】为加强中小学生安全和禁毒教育,某校组织了“防溺水、交通安全、禁毒”知识竞赛,为奖励在竞赛中表现优异的班级,学校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同,每个篮球的价格相同),购买1个足球和1个篮球共需159元;足球单价是篮球单价的2倍少9元.
(1)求足球和篮球的单价各是多少元?
(2)根据学校实际情况,需一次性购买足球和篮球共20个,但要求购买足球和篮球的总费用不超过1550元,学校最多可以购买多少个足球?
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【题目】如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1 , 再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2 , …,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn . 下列结论正确的有( )
①四边形A2B2C2D2是矩形;
②四边形A4B4C4D4是菱形;
③四边形A5B5C5D5的周长是 ,
④四边形AnBnCnDn的面积是 .
A.①②③
B.②③④
C.①②
D.②③
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【题目】我国古代《易经》一书中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳计数”.如图,一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结,满七进一,用来记录孩子自出生后的天数,由图可知,孩子自出生后的天数是( )
A.84
B.336
C.510
D.1326
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【题目】根据卫生防疫部门要求,游泳池必须定期换水,清洗.某游泳池周五早上8:00打开排水孔开始排水,排水孔的排水速度保持不变,期间因清洗游泳池需要暂停排水,游泳池的水在11:30全部排完.游泳池内的水量Q(m2)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)暂停排水需要多少时间?排水孔排水速度是多少?
(2)当2≤t≤3.5时,求Q关于t的函数表达式.
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【题目】如图,点O是线段AB上的点,点C,D分别是线段OA,OB的中点,小明很轻松地求得CD=AB.他在反思过程中突发奇想:若点O在线段AB的延长线上或在直线AB外,则原有的结论“CD=AB”仍然成立吗?请帮小明解决此问题(当点O在线段AB的延长线上时,请画图分析该结论是否成立,并说明理由;当点O在直线AB外时,作出图形,通过度量说明该结论是否成立).
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,将△ABC绕点A逆时针旋转60°后得到△ADE,若AC=1,则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是(结果保留π).
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