Question

【题目】如图所示，在三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O做直线MN平行于BC，设MN∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1）试说明：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵FC平分∠ACD，

∴∠ACF=∠DCF，

∵MN∥BD，

∴∠OFC=∠DCF，

∴∠OFC=∠ACF，

∴OF=OC，

同理OE=OC，

∴OE=OF

（2）当O为AC中点时，四边形AECF是矩形，

证明：∵O为AC中点，

∴OA=OC，

∵OE=OF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵CF平分∠ACD，CE平分∠ACB，

∴∠ACF=∠DCF= ∠ACD，∠ACE=∠BCE= ∠ACB，

∴∠FCE=∠ACF+∠ACE= ∠ACD+ ∠ACB= ×180°=90°，

∴平行四边形AECF是矩形

【解析】（1）根据平行线得出∠OFC=∠DCF，根据角平分线定义得出∠ACF=∠DCF，推出∠OFC=∠ACF，推出OF=OC，同理得出OE=OC，即可得出答案；（2）根据平行四边形判定得出四边形是平行四边形，求出∠FCE=90°，根据矩形判定推出即可．
【考点精析】通过灵活运用三角形的外角和矩形的判定方法，掌握三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形即可以解答此题．