Question

如图，点P坐标为（-3，5），以P为圆心的⊙P与x轴相切于点A，与y轴交于B、C两点，连接PB、AB．
（1）求证：AB平分∠PBO；
（2）若直线CP交x轴于点D，求出点D的坐标．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）连接AP，根据切线的性质定理以及圆的半径处处相等所形成的等腰三角形PAB的性质即可证明AB平分∠PBO；
（2）过P作PH⊥BC于H，根据P的坐标易求圆的半径为5，利用勾股定理可求出BH=4，所以OB=1，由垂径定理可得OC=9，易证△DAP∽△DOC，由相似三角形OD的性质：对应边的比值相等即可求出DA的长，进而可求出OD的长，所以D的坐标即可求出．

解答：（1）证明：连接AP，
∵⊙P与x轴相切于点A，
∴∠PA0=90°，
∴∠PAB+∠BAO=90°，
∵∠DOC=90°，
∴∠BAO+∠ABO=90°，
∵PB=PA，
∴∠PAB=∠PBA，
∴∠PBA=∠ABO，
∴AB平分∠PBO；
（2）过P作PH⊥BC于H，
∴BH=CH，
∵点P坐标为（-3，5），
∴PA=PB=5，PH=AO=3，
∴BH=

PB2-PH2

=4，
∴OB=1，
∴CO=9，
∵PA∥OC，
∴△DAP∽△DOC，
∴

PA

OC

=

DA

DO

，
∴

5

9

=

DA

DA+3

，
解得：DA=

15

4

，
∴DO=DA+AO=3+

15

4

=

27

4

，
∴点D的坐标为（-

27

4

，0）．

点评：本题考查了切线的性质定理、圆的半径处处相等的性质、垂径定理的运用、勾股定理的运用以及相似三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度中等，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．