Question

如图，等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任一点（点P不与A、B重合），连AP，BP，过C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）求证：△ACM≌△BCP；
（2）求证：PC=PA+PB．

Answer 1

考点：圆周角定理,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：（1）证明∠M=∠BPC，∠MAC=∠PBC，AC=BC，即可证明△ACM≌△BCP．
（2）证明PB=AM，PA+PB=PA+AM=PM；进而证明PC=PM，问题立即可解决．

解答：证明：（1）如图，∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，
∴∠MAC=∠PBC，∠ACB+∠APB=180°；
∵CM∥BP，
∴∠M+∠APB=180°，
∴∠M=∠ACB；
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠BAC=60°，AC=BC；而∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠M=∠BPC；
在△ACM与△BCP中，

∠MAC=∠PBC ∠M=∠BPC AC=BC

，
∴△ACM≌△BCP（AAS）．
（2）∵△ACM≌△BCP，
∴PB=AM，PA+PB=PA+AM=PM；
∵∠M=∠BPC=60°，∠APC=∠ABC=60°，
∴△MPC为等边三角形，
∴PC=PM，
∴PC=PA+PB．

点评：该命题主要考查了等边三角形的性质、圆周角定理及其推论、全等三角形的判定及其性质等几何知识点的应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．