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【题目】在平面直角坐标系中,二次函数的图象与轴交于两点,与轴交于点,连接

1)点是直线下方抛物线上一点,当面积最大时,轴上一动点,轴上一动点,记的最小值为,请求出此时点的坐标及

2)在(1)的条件下,连接轴于点,将抛物线沿射线平移,平移后的抛物线记为,当经过点时,将抛物线位于轴下方部分沿轴翻折,翻折后所得的曲线记为,点为曲线的顶点,将沿直线平移,得到,在平面内是否存在点,使以点为顶点的四边形为菱形.若存在,请直接写出的横坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1;(2)当时,存在点,使以点为顶点的四边形为菱形.

【解析】

1)如图1中,设,作PFy轴交BC于点F.构建二次函数求出点P坐标,如图2中,在y轴的正半轴上取一点G,连接BG,使得∠GBO=30°,作点P关于y轴的对称点H,作HFBGy轴于M,交x轴于N.由FN=BN,推出PM+MN+BN=HM+MN+NF,根据垂线段最短可知,此时PM+MN+BN的值最短,求出HF的坐标即可解决问题.
2)想办法求出RD′的坐标,分两种情形分别构建方程解决问题即可.

1)如图1中,设,作轴交于点

1

由题意

直线的解析式为

时,的面积最大,此时

如图2中,在轴的正半轴上取一点,连接,使得,作点关于轴的对称点,作轴于,交轴于

2

,根据垂线段最短可知,此时的值最短.

直线的解析式为,

直线的解析式为

,解得

2)如图3中,

3

由题意直线的解析式为

直线的解析式为,设

原抛物线的顶点坐标为,平移后抛物线经过点,此时顶点,翻折后的顶点

由题意可知当时,存在点,使以点为顶点的四边形为菱形,

解得

当点在线段的垂直平分线上时,存在点,使以点为顶点的四边形为菱形,则有:

综上所述,当时,存在点,使以点为顶点的四边形为菱形.

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