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    已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（-
    7
    2
    ，0）、B（
    1
    2
    ，0），与y轴相交于点C（0，
    7
    4
    ）
    （1）求抛物线的解析式，并求顶点D的坐标；
    （2）在y轴的负半轴上是否存在以点P、O、B为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）取点E（
    3
    2
    ，0），F（0，
    3
    4
    ），直线l经过E、F两点，点G是线段AD的中点①点G是否在直线l上？请说明理由；
    ②在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？若存在，请写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
    考点：二次函数综合题
    专题：
    分析：（1）已知抛物线与x轴的两个交点，所以设该抛物线的解析式为y=a（x+
    7
    2
    ）（x-
    1
    2
    ）（a≠0），然后把点C的坐标代入求a的值即可；
    （2）根据点A、C的坐标求出OA、OC的长．因为∠AOC=∠BOP=90°，所以只有△BOP∽△AOC和△POB∽△AOC两种情况．利用相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，从而得解；
    （3）①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式求出直线l的解析式，再利用中点公式求出点G的坐标，然后根据直线上点的坐标特征验证即可；
    ②设抛物线的对称轴与x轴交点为H，求出OE、OF、HD、HB的长，然后求出△OEF和△HDB相似，根据相似三角形对应角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，从而得到直线l是线段BD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点D关于直线l的对称点就是B，从而判断出点M就是直线DE与抛物线的交点，再设直线DE的解析式为y=mx+n，利用待定系数法求一次函数解析求出直线DE的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件的点M．
    解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（-
    7
    2
    ，0）、B（
    1
    2
    ，0），
    ∴设该抛物线的解析式为y=a（x+
    7
    2
    ）（x-
    1
    2
    ）（a≠0），
    把C（0，
    7
    4
    ）代入，得
    7
    4
    =-
    7
    4
    a，
    解得，a=-1，
    ∴该抛物线的解析式为y=-（x+
    7
    2
    ）（x-
    1
    2
    ）=-（x+
    3
    2
    ）2+4，
    ∴顶点D的坐标是（-
    3
    2
    ，4）．
    综上所述，抛物线的解析式是y=-（x+
    7
    2
    ）（x-
    1
    2
    ）（或y=-（x+
    3
    2
    ）2+4），顶点D的坐标是（-
    3
    2
    ，4）；

    （2）如图1，在y轴负半轴上存在符合条件的点P，设点P的坐标为（0，t）（t＜0），
    ∵A（-
    7
    2
    ，0）、B（
    1
    2
    ，0），C（0，
    7
    4
    ），
    ∴OA=
    7
    2
    ，OB=
    1
    2
    ，OC=
    7
    4
    ，OP=-t．
    ∵∠AOC=∠BOP=90°，
    ∴只有△BOP∽△AOC和△POB∽△AOC两种情况．
    ①当△BOP∽△AOC时，
    OB
    OA
    =
    OP
    OC
    ，即
    1
    2
    7
    2
    =
    -t
    7
    4
    ，解得t=-
    1
    4
    ，则此时P（0，-
    1
    4
    ）；
    ②当△POB∽△AOC时，
    OB
    OC
    =
    OP
    OA
    ，即
    1
    2
    7
    4
    =
    -t
    7
    2
    ，解得t=-1，则此时P（0，-1）．
    综上所述，符合条件的点P的坐标是（0，-
    1
    4
    ）或P（0，-1）；

    （3）如图2，①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
    ∵直线l经过点E（
    3
    2
    ，0），F（0，
    3
    4
    ），则
    3
    2
    k+b=0
    b=
    3
    4
    ，
    解得，
    k=-
    1
    2
    b=
    3
    4
    ，
    则直线l的解析式为：y=-
    1
    2
    x+
    3
    4
    ．
    ∵A（-
    7
    2
    ，0）、D（-
    3
    2
    ，4），
    ∴线段AD的中点G的坐标是（-
    5
    2
    ，2），
    当x=-
    5
    2
    时，y=-
    1
    2
    ×（-
    5
    2
    ）+
    3
    4
    =2，即点G（-
    5
    2
    ，2）在直线l上；
    ②在抛物线上存在符合条件的点M．
    设抛物线的对称轴与x轴交点为H，则点H的坐标为（-
    3
    2
    ，0），
    ∵E（
    3
    2
    ，0），A（-
    7
    2
    ，0）、D（-
    3
    2
    ，4），
    ∴AE=DE，
    又∵点G是AD的中点，
    ∴直线l是线段BD的垂直平分线，
    ∴点D关于直线l的对称点就是点B，
    ∴点M就是直线DE与抛物线的交点，
    易求直线DE的解析式为：y=-
    4
    3
    x+2．
    则
    y=-
    1
    2
    (x+
    3
    2
    )2+4
    y=-
    4
    3
    x+2
    ，
    解得
    x1=-
    3
    2
    y1=4
    ，
    x2=-
    1
    6
    y2=
    20
    9
    ，
    则符合条件的点M有2个，它们的坐标分别是（-
    3
    2
    ，4）、（-
    1
    6
    ，
    20
    9
    ）．
    点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点的求解，求顶点坐标，待定系数法求一次函数解析式，点在直线上的验证，相似三角形的判定与性质，联立两函数解析式求交点坐标的方法，综合性较强，难度较大，（2）要根据对应边的不同分情况讨论，（3）求出直线l是线段BD的垂直平分线是解题的关键．
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