Question

【题目】如图，已知是的直径，点是延长线上一点过点作的切线，切点为.过点作于点，延长交于点.连结，，，.若，.

（1）求的长。

（2）求证：是的切线.

（3）试判断四边形的形状，并求出四边形的面积.

Answer 1

【答案】（1）BD=2；(2)见解析；（3）四边形ABCD是菱形，理由见解析. 菱形ABCD得面积为6.

【解析】

（1）根据题意连结BD，利用切线定理以及勾股定理进行分析求值；

（2）根据题意连结OB，利用垂直平分线性质以及切线定理进行分析求值；

（3）由题意可知四边形ABCD是菱形，结合勾股定理利用菱形的判定方法进行求证.

解：（1）连结BD

DE=CE

∴∠DCE=∠EDC

∵⊙O与CD相切于点D，

∴OD⊥DC，∠ODC=90°

∠ODE+∠CDE=90°

∠DOC+∠DCO=90°，∠DCE=∠EDC

∠ODE=∠DOE

DE=OE

∵ 在⊙O中，OE=OD

OE=OD=DE

∠DOE=60°

∵ 在⊙O中，AE⊥DB

BD=2DF

∵在Rt△COE中，∠ODF-90°-∠DOE=90°-60°=30°

∴OD=2OF

∵EF=1 ,设半径为R,

OF=OE-FE=R-1

∴R=2(R-1),解得R=2

∴

BD=2DF=2

(2)连结OB

∵ 在⊙O中，AE⊥DB

BF=DF

AC是DB的垂直平分线

∴OD=0B,CD=CB

∴∠ODB=∠OBD,∠CDB=∠CBD

∴∠ODB+∠CDB=∠OBD+∠CBD

即∠ODC=∠OBC

由（1）得∠ODC=90°

∴∠OBC=90°

即OB⊥BC

又OB是⊙O的半径

∴CB是⊙O的切线

（3）四边形ABCD是菱形，理由如下

∵ 由（1）得在⊙O中,∠DOE=60°，∠ODC=90°

∴∠DAO=∠DOE=30°

∵ 由（1）得∠ODC=90°/p>

∴∠OCD=90°-∠DOC=90°-60°=30°

∴∠DAO=∠OCD

∴DA=CD

∵ 由（2）得AD=AB,CD=BC

∴AD=DC=BC=AB

∴四边形ABCD是菱形

∵在Rt△AFD中，DF=,∠DAC=30°

∴AD=2DF=2

∵四边形ABCD是菱形

∴AC=2AF=6,BD=2DF=2

∴菱形ABCD得面积为：×AC×DB=×6×2=6.