Question

【题目】为倡导节能环保，降低能源消耗，提倡环保型新能源开发，造福社会．某公司研发生产一种新型智能环保节能灯，成本为每件40元．市场调查发现，该智能环保节能灯每件售价y（元）与每天的销售量为x（件）的关系如图，为推广新产品，公司要求每天的销售量不少于1000件，每件利润不低于5元．

（1）求每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）设该公司日销售利润为P元，求每天的最大销售利润是多少元？

（3）在试销售过程中，受国家政策扶持，毎销售一件该智能环保节能灯国家给予公司补贴m（m≤40）元．在获得国家每件m元补贴后，公司的日销售利润随日销售量的增大而增大，则m的取值范围是　 　（直接写出结果）．

Answer 1

【答案】（1）函数关系式为y＝﹣x+70，自变量x的取值范围1000≤x≤2500；（2）每天的最大销售利润是22500元；（3）m的取值范围是：20≤m≤40．

【解析】

（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；

（3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；

解：（1）设每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式为y＝kx+b，

把（1500，55）与（2000，50）代入y＝kx+b得，

，

解得：，

∴每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式为y＝﹣x+70，

当y≥45时，﹣x+70≥45，解得：x≤2500，

∴自变量x的取值范围1000≤x≤2500；

（2）根据题意得，P＝（y﹣40）x＝（﹣x+70﹣40）x＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣1500）2+22500，

∵﹣＜0，P有最大值，

当x＜1500时，P随x的增大而增大，

∴当x＝1500时，P的最大值为22500元，

答：每天的最大销售利润是22500元；

（3）由题意得，P＝（﹣x+70﹣40+m）x＝﹣x2+（30+m）x，

∵对称轴为x＝50（30+m），

∵1000≤x≤2500，

∴x的取值范围在对称轴的左侧时P随x的增大而增大，

50（30+m）≥2500，

解得：m≥20，

∴m的取值范围是：20≤m≤40．

故答案为：20≤m≤40．