Question

【题目】如图，直线和反比例函数的图象都经过点，点在反比例函数的图象上，连接．

（1）求直线和反比例函数的解析式；

（2）直线经过点吗？请说明理由；

（3）当直线与反比例数图象的交点在两点之间.且将分成的两个三角形面积之比为时，请直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线经过点，理由见解析；（3）的值为或．

【解析】

（1）依据直线l1：y=-2x+b和反比例数的图象都经过点P（2，1），可得b=5，m=2，进而得出直线l1和反比例函数的表达式；
（2）先根据反比例函数解析式求得点Q的坐标为，依据当时，y=-2×+5=4，可得直线l1经过点Q；
（3）根据OM将分成的两个三角形面积之比为，分以下两种情况：①△OMQ的面积:△OMP的面积=1:2，此时有QM:PM=1:2；②OMQ的面积:△OMP的面积=2:1，此时有QM:PM=2:1，再过M，Q分别作x轴，y轴的垂线，设点M的坐标为(a，b)，根据平行线分线段成比例列方程求解得出点M的坐标，从而求出k的值．

解：（1）∵直线和反比例函数的图象都经过点，

．

∴直线l1的解析式为y=-2x+5，反比例函数大家解析式为；

（2）直线经过点，理由如下.点在反比例函数的图象上，

．

点的坐标为．

当时，．

直线经过点；

（3）的值为或．理由如下：

OM将分成的两个三角形面积之比为，分以下两种情况：

①△OMQ的面积:△OMP的面积=1:2，此时有QM:PM=1:2，

如图，过点M作ME⊥x轴交PC于点E，MF⊥y轴于点F；过点Q作QA⊥x轴交PC于点A，作QB⊥y轴于点B，交FM于点G，设点M的坐标为(a，b)，

图①

∵点P的坐标为（2，1），点Q的坐标为（，4），

∴AE=a-，PE=2-a，

∵ME∥BC,QM:PM=1:2，

∴AE:PE=1:2，

∴2-a=2(a-)，解得a=1，

同理根据FM∥AP，根据QG:AG=QM:PM=1:2，

可得（4-b）:(b-1)=1:2,解得b=3．

所以点M的坐标为（1，3），代入y=kx可得k=3；

②OMQ的面积:△OMP的面积=2:1，此时有QM:PM=2:1，如图②，

图②

同理可得点M的坐标为（，2），代入y=kx可得k=.

故k的值为3或．