Question

如图，A、B是⊙O上的两个点，已知P为平面内一点，（P、A、B三点不在同一条直线上）．
（1）若点P在⊙O上，⊙O的半径为1．
①当∠APB=45°时，AB的长度为

 

，
②当AB=1时，∠APB=

 

°；
（2）若点P不在⊙O上，直线PA、PB交⊙O于点C、D（点C与点A、点D与点B均不重合），连接AD，设∠CAD=α，∠ADB=β，试用α、β表示∠APB（请直接写出答案，并画出示意图）．

Answer 1

考点：圆周角定理,三角形的外角性质

专题：分类讨论

分析：（1）①由点P在⊙O上，∠APB=45°，根据圆周角定理，易证得△AOB是等腰直角三角形，继而求得答案；
②由AB=1，OA=OB=1，可得△OAB是等边三角新，然后分别从若点P在优弧

AB

上与若点P在劣弧

AB

上去分析求解即可求得答案；
（2）分别从P在圆外与圆内去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）①∵点P在⊙O上，∠APB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=1，
∴AB=

2

；

②∵AB=1，OA=OB=1，
∴△OAB是等边三角新，
∴∠AOB=90°，
若点P在优弧

AB

上，则∠APB=30°，
若点P在劣弧

AB

上，则∠APB=180°-30°=150°；
综上可得：∠APB=30°或150°；
故答案为：①

2

；②30°或150°；

（2）①P在圆外时，
如图①，若点C、D分别在线段PA、PB上，则∠APB=β-α；
如图②，若点C在线段PA的延长线上，点D在线段PB上，则∠APB=α+β-180°；
如图③，若点C在线段PA上，点D在线段PB的延长线上，则∠APB=180°-α-β；
如图④，若点C、D分别在线段PA、PB的延长线上，则∠APB=α-β；
②P在圆内时，如图⑤，∠APB=α+β．

点评：此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．