Question

【题目】如图，在中，，以AB为直径的圆交AC于点D,E是BC的中点，连接DE.

（1）求证：DE是的切线；

（2）设的半径为r，证明；

（3）若，求AD之长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）由E为BC的中点，O为AB的中点，得到OE是△ABC的中位线，进而得到OE∥AC．再由平行线的性质及等腰三角形的性质可证∠1=∠2，即可得到△ODE≌△OBE，根据全等三角形对应角相等即可得到结论；

（2）证明△ADB∽△OBE，由相似三角形对应边成比例即可得到结论；

（3）根据切线长定理得到BE=DE=4．

由OE∥AC，得到∠4=∠C，则，解直角三角形OBE可得OB，OE的长，代入（2）中结论，即可得出AD的长．

（1）∵AB⊥BC，∴∠OBC=90°．

∵E为BC的中点，O为AB的中点，

，

∴∠1=∠ODA，∠2=∠A．

∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∴∠1=∠2．

∵OD=OB，∠1=∠2，OE=OE，

∴△ODE≌△OBE，

∴∠ODE=∠OBE=90°，

∴DE为的切线；

（2）∵∠2=∠A，，

，

，

，

因此，；

（3）∵DE、BE是⊙O的切线，∴BE=DE=4．

又∵，

，

，

∴．

设OB=3x，则OE=5x，BE=4x．

∵BE=4，∴x=1，∴OB=3，OE=5．

又由（2）得：，

即：，

．