【题目】如图1,点A在第一象限,轴于B点,连结,将折叠,使点落在x轴上,折痕交边于D点,交斜边于E点,(1)若A点的坐标为,当时,点的坐标是______;(2)若与原点O重合,,双曲线的图象恰好经过D,E两点(如图2),则____.
【答案】(,0)
【解析】
(1)由题意可求得OA的长,再根据三角函数与折叠的性质可得AE:OE的值,进而可求得AE与OE的长,然后由勾股定理求得OA′的长即得答案;
(2)首先设点A的坐标为(2a,2b),进而可表示出点E和点D的坐标,然后在Rt△OBD和Rt△OAB中,利用勾股定理可得关于a、b的方程组,解方程组即可求出a、b的值,进而可得结果.
解:(1)∵AB⊥x轴,A点的坐标为(4,3),∴OB=4,AB=3,∴OA=,
∵EA′∥AB,∴EA′⊥x轴,∴sin∠AOB=,
由折叠的性质可得:A′E=AE,∴AE:OE=3:5,
∴A′E=AE=,OE=,
∴,
∴点A′的坐标是:(,0);
(2)设点A的坐标为:(2a,2b),
∵A′与原点O重合,∴点E的坐标为:(a,b),
∵双曲线的图象恰好经过D、E两点,∴k=ab,
∴点D的坐标为:(2a,b),
∴AB=2b,BD=b,OB=2a,
由折叠的性质可得:OD=AD=AB﹣BD=,
在Rt△OBD中,OD2=OB2+BD2,即()2=(2a)2+(b)2①,
在Rt△OAB中,OA2=OB2+AB2,即42=(2a)2+(2b)2②,
联立①②解得:,∴k=ab=.
故答案为:(1)(,0);(2).
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【题目】如图,△ABC中,点E、P在边AB上,且AE=BP,过点E、P作BC的平行线,分别交AC于点F、Q.记△AEF的面积为,四边形EFQP的面积为,四边形PQCB的面积为
(1)求证:EF+PQ=BC
(2)若+=,求的值
(3)若-=,直接写出的值
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【题目】如图,直线与反比例函数的图象相交于点和.
(1)求出反比例函数的表达式并直接写出,的值;
(2)根据图象,直接写出时,的取值范围;
(3)求的面积.
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【题目】如图,在中,,以AB为直径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE.
(1)求证:DE是的切线;
(2)设的半径为r,证明;
(3)若,求AD之长.
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【题目】如图,一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于A,B两点,A点的坐标为,B点的坐标为,连接,过B作轴,垂足为C.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)在射线上是否存在一点D,使得是直角三角形,求出所有可能的D点坐标.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知点A在抛物线y=x2+bx+c(b>0)上,且A(1,-1),
(1)若b-c=4,求b,c的值;
(2)若该抛物线与y轴交于点B,其对称轴与x轴交于点C,则命题“对于任意的一个k(0<k<1),都存在b,使得OC=k·OB.”是否正确?若正确,请证明;若不正确,请举反例;
(3)将该抛物线平移,平移后的抛物线仍经过(1,-1),点A的对应点A1为
(1-m,2b-1).当m≥-时,求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标.
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【题目】A,C,B三地依次在一条笔直的道路上甲、乙两车同时分别从A,B两地出发,相向而行.甲车从A地行驶到B地就停止,乙车从B地行驶到A地后,立即以相同的速度返回B地,在整个行驶的过程中,甲、乙两车均保持匀速行驶,甲、乙两车距C地的距离之和y(km)与甲车出发的间(b)之间的函数关系如图所示,则甲车到达B地时,乙车距B地的距离为_____km.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90o,以BC为直径的半圆⊙O交AC于点D,点E是AB的中点,连接DE并延长,交CB延长线于点F.
(1)判断直线DF与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若CF=8,DF=4,求⊙O的半径和AC的长.
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