Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，点D是AB延长线上一点，∠A＝30°，∠D＝30°．

（1）求证：FD是⊙O的切线；

（2）取BE的中点M，连接MF，若⊙O的半径为2，求MF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）MF＝.

【解析】

（1）如图，连接OE，OF，由垂径定理可知，根据圆周角定理可求出∠DOF=60°，根据三角形内角和定理可得∠OFD=90°，即可得FD为⊙O的切线；（2）如图，连接OM，由中位线的性质可得OM//AE，根据平行线的性质可得∠MOB＝∠A＝30°，根据垂径定理可得OM⊥BE，根据含30°角的直角三角形的性质可求出BE的长，利用勾股定理可求出OM的长，根据三角形内角和可得∠DOF=60°，即可求出∠MOF=90°，利用勾股定理求出MF的长即可.

（1）如图，连接OE，OF，

∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，

∴，

∴∠DOF＝∠DOE，

∵∠DOE＝2∠A，∠A＝30°，

∴∠DOF＝60°，

∵∠D＝30°，

∴∠OFD＝90°，

∴OF⊥FD．

∴FD为⊙O的切线.

（2）如图，连接OM，MF，

∵O是AB中点，M是BE中点，

∴OM∥AE．

∴∠MOB＝∠A＝30°．

∵OM过圆心，M是BE中点，

∴OM⊥BE．

∴MB=OB=1，

∴OM==，

∵∠OFD=90°，∠D=30°，

∴∠DOF＝60°，

∴∠MOF＝∠DOF+∠MOB=90°，

∴MF＝＝＝．