【题目】如图①,若直线l︰y=-2x+4交x轴于点A、交y轴于点B,将△AOB绕点O逆时针旋转得到△COD.过点A,B,D的抛物线h︰y=ax2+bx+4.
(1)求抛物线h的表达式;
(2)若与y轴平行的直线m以1秒钟一个单位长的速度从y轴向左平移,交线段CD于点M、交抛物线h于点N,求线段MN的最大值;
(3)如图②,点E为抛物线h的顶点,点P是抛物线h在第二象限的上一动点(不与点D、B重合),连接PE,以PE为边作图示一侧的正方形PEFG.随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变,当顶点F或G恰好落在y轴上时,直接写出对应的点P的坐标.
【答案】(1);(2);(3)、、
【解析】
(1)先由直线l的解析式得到A,B两点的坐标,再根据旋转得到D点的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式即可.
(2)设出点N的坐标,纵坐标用横坐标表示出来,同时也可以表示出M的坐标,而MN的长度就是N点与M点的纵坐标之差,作差之后发现是一个关于N点横坐标的二次函数,利用二次函数求最值即可.
(3)分别对顶点F和顶点G在y轴上分情况讨论,求出点P的坐标即可
(1)∵直线l:交x轴于点A、交y轴于点B,
∴,.
∵将绕点O逆时针旋转得到,
∴,.
设过点A、B、D的抛物线h的解析式为:.
将B点坐标代入可得:,
∴,故抛物线h的解析式为;
(2)∵,,
∴直线CD的解析式为.
设N点坐标为,则M点坐标为.
∴,
∴当时,MN最大,最大值为;
(3)若G点在 y轴上,如图,作PH⊥y轴于H,交抛物线对称轴于K,
在和中,,
则,.
∵,∴.
设,
则:,.
∴,所以.
因此P点的坐标为:,.
若F点在 y轴上,如图,作PR垂直抛物线对称轴于R,FQ垂直抛物线对称轴于Q,则PER≌EFQ,∴ER=FQ,
所以,,即有:
∴或(舍去)
故P点的坐标为:.
综上所述,满足要求的P点的坐标有三个,分别为:
、、.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦EF⊥AB于点C,点D是AB延长线上一点,∠A=30°,∠D=30°.
(1)求证:FD是⊙O的切线;
(2)取BE的中点M,连接MF,若⊙O的半径为2,求MF的长.
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【题目】如图1,△ABC的AB边为圆O的弦,AC、BC分别交圆O于D、E,弧AD=弧BE,∠C=60°;
(1)求证:△ABC为等边三角形;
(2)如图2,F为弧AD上一点,连接FE并延长至G,连接BG,若∠AFB=∠G,求∠FBG的正弦值;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接FC并延长交BG延长线于H,若CF=CH,AF=7,HG=12,求线段BF的长度。
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【题目】已知抛物线y=x2+(2m+1)x+m(m﹣3),(m为常数,﹣1≤m≤4),A(﹣m﹣1,y1),是该抛物线上不同的两点,现将抛物线的对称轴绕坐标原点O逆时针旋转90°得到直线a,过抛物线顶点P作PH⊥a于H.
(1)当m=1时,求出这条抛物线的顶点坐标;
(2)若无论m取何值,抛物线与直线y=x﹣km(k为常数)有且仅有一个公共点,求k的值;
(3)当1<PH≤6时,试比较y1,y2之间的大小.
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【题目】如图,Rt△ABC中,AC=CB,点E,F分别是AC,BC上的点,△CEF的外接圆交AB于点Q,D.
(1)如图1,若点D为AB的中点,求证:∠DEF=∠B;
(2)在(1)问的条件下:
①如图2,连结CD,交EF于H,AC=4,若△EHD为等腰三角形,求CF的长度.
②如图2,△AED与△ECF的面积之比是3:4,且ED=3,求△CED与△ECF的面积之比(直接写出答案).
(3)如图3,连接CQ,CD,若AE+BF=EF,求证:∠QCD=45°.
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【题目】从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图①,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD是△ABC的完美分割线;
(2)如图②,在△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.
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【题目】阅读材料:若,求m、n的值.
解: ,
,
,
.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)己知,求的值.
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数,且满足,求边c的最大值.
(3) 若己知,求的值.
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【题目】已知抛物线与轴的一个交点为,与轴的负半轴交于点.
(1)直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与轴的另一个交点的坐标;
(2)点关于轴的对称点为点,当点在以为直径的半圆上时,求抛物线的解析式;
(3)在(2)的情况下,在抛物线上是否存在一点,使,,三条之中,其中一条是另两条所夹角的角平分线?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线的表达式为,线段AB的两个端点分别为A(1,2),B(3,2)
(1)若抛物线经过原点,求出的值;
(2)求抛物线顶点C的坐标(用含有m的代数式表示);
(3)若抛物线与线段AB恰有一个公共点,结合函数图象,求出m的取值范围.
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