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【题目】如图①,若直线ly=2x+4x轴于点A、交y轴于点B,将△AOB绕点O逆时针旋转得到△COD.过点ABD的抛物线hy=ax2+bx+4

(1)求抛物线h的表达式;

(2)若与y轴平行的直线m1秒钟一个单位长的速度从y轴向左平移,交线段CD于点M、交抛物线h于点N,求线段MN的最大值;

(3)如图②,点E为抛物线h的顶点,点P是抛物线h在第二象限的上一动点(不与点DB重合),连接PE,以PE为边作图示一侧的正方形PEFG.随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变,当顶点FG恰好落在y轴上时,直接写出对应的点P的坐标.

【答案】1;(2;(3

【解析】

(1)先由直线l的解析式得到A,B两点的坐标,再根据旋转得到D点的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式即可.

(2)设出点N的坐标,纵坐标用横坐标表示出来,同时也可以表示出M的坐标,而MN的长度就是N点与M点的纵坐标之差,作差之后发现是一个关于N点横坐标的二次函数,利用二次函数求最值即可.

(3)分别对顶点F和顶点G在y轴上分情况讨论,求出点P的坐标即可

1直线lx轴于点A、交y轴于点B

.

绕点O逆时针旋转得到

.

设过点ABD的抛物线h的解析式为:.

B点坐标代入可得:

,故抛物线h的解析式为

2

直线CD的解析式为.

N点坐标为,则M点坐标为.

时,MN最大,最大值为

3)若G点在 y轴上,如图,作PH⊥y轴于H,交抛物线对称轴于K

中,

.

.

则:,.

,所以.

因此P点的坐标为:.

F点在 y轴上,如图,作PR垂直抛物线对称轴于RFQ垂直抛物线对称轴于Q,则PER≌EFQ∴ER=FQ

所以,,即有:

(舍去)

P点的坐标为:.

综上所述,满足要求的P点的坐标有三个,分别为:

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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦EFAB于点C,点DAB延长线上一点,∠A30°,∠D30°

1)求证:FD是⊙O的切线;

2)取BE的中点M,连接MF,若⊙O的半径为2,求MF的长.

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【题目】如图1ABCAB边为圆O的弦,ACBC分别交圆ODE,弧AD=BE,∠C=60°

1)求证:ABC为等边三角形;

2)如图2F为弧AD上一点,连接FE并延长至G,连接BG,若∠AFB=G,求∠FBG的正弦值;

3)如图3,在(2)的条件下,连接FC并延长交BG延长线于H,若CF=CHAF=7HG=12,求线段BF的长度。

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【题目】已知抛物线yx2+2m+1x+mm3),(m为常数,﹣1≤m≤4),A(﹣m1y1),是该抛物线上不同的两点,现将抛物线的对称轴绕坐标原点O逆时针旋转90°得到直线a,过抛物线顶点PPHaH

(1)当m1时,求出这条抛物线的顶点坐标;

(2)若无论m取何值,抛物线与直线yxkmk为常数)有且仅有一个公共点,求k的值;

(3)当1PH≤6时,试比较y1y2之间的大小.

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【题目】如图,RtABC中,ACCB,点EF分别是ACBC上的点,CEF的外接圆交AB于点QD

1)如图1,若点DAB的中点,求证:∠DEF=∠B

2)在(1)问的条件下:

①如图2,连结CD,交EFHAC4,若EHD为等腰三角形,求CF的长度.

②如图2AEDECF的面积之比是34,且ED3,求CEDECF的面积之比(直接写出答案).

3)如图3,连接CQCD,若AE+BFEF,求证:∠QCD45°

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【题目】从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.

1)如图,在ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD是△ABC的完美分割线;

2)如图,在ABC中,AC=2BC=CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.

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【题目】阅读材料:,求m、n的值.

:

.

根据你的观察,探究下面的问题:

(1)己知,求的值.

(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数,且满足,求边c的最大值.

(3) 若己知的值.

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【题目】已知抛物线轴的一个交点为,与轴的负半轴交于点.

1)直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与轴的另一个交点的坐标;

2)点关于轴的对称点为点,当点在以为直径的半圆上时,求抛物线的解析式;

3)在(2)的情况下,在抛物线上是否存在一点,使三条之中,其中一条是另两条所夹角的角平分线?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线的表达式为线段AB的两个端点分别为A(1,2),B(3,2)

(1)若抛物线经过原点求出的值

(2)求抛物线顶点C的坐标(用含有m的代数式表示);

(3)若抛物线与线段AB恰有一个公共点,结合函数图象,求出m的取值范围.

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