Question

【题目】如图1，△ABC的AB边为圆O的弦，AC、BC分别交圆O于D、E，弧AD=弧BE，∠C=60°；

（1）求证：△ABC为等边三角形；

（2）如图2，F为弧AD上一点，连接FE并延长至G，连接BG，若∠AFB=∠G，求∠FBG的正弦值；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接FC并延长交BG延长线于H，若CF=CH，AF=7，HG=12，求线段BF的长度。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）sin∠FBG＝；（3）BF=16

【解析】

（1）由得到，进而证明∠A＝∠B即可解决问题；

（2）首先证明∠ABF＝∠EBG，推出∠FBG＝∠ABC＝60°，根据特殊角三角函数值可得答案；

（3）如图3中，作CP∥FG，交BH于P，作FQ⊥BH于Q，连接AE，设BQ＝x，首先证明△ABF≌△CBP，推出PC＝AF＝7，BF＝PB，推出BF＝BP＝2BQ＝2x，FQ＝x，GQ＝2xx6＝x6，在Rt△FGQ中，由FG2＝FQ2＋GQ2，列出方程即可解决问题．

（1）∵，

∴，

∴∠A＝∠B，

∵∠C＝60°，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，

∴△ABC是等边三角形．

（2）∵∠BEG＋∠BEF＝180°，∠BEF＋∠FAB＝180°，

∴∠BEG＝∠BAF，

∵∠BEG＋∠G＋∠EBG＝180°，∠AFB＋∠FAB＋∠ABF＝180°，∠AFB＝∠G，

∴∠ABF＝∠EBG，

∴∠FBG＝∠ABC＝60°，

∴sin∠FBG＝；

（3）如图，作CP∥FG，交BH于P，作FQ⊥BH于Q，连接AE，设BQ＝x，

∵FC＝CH，

∴HP＝PG，

∴FG＝2PC，∠FGB＝∠CPB，

∵∠AFB＝∠FGB，

∴∠AFB＝∠CPB，

在△ABF和△CBP中，，

∴△ABF≌△CBP，

∴PC＝AF＝7，BF＝PB，

∴FG＝14．

在Rt△FBQ 中，∵∠FQB＝90°，∠FBQ＝60°，

∴∠BFQ＝30°，

∴BF＝BP＝2BQ＝2x，FQ＝x，GQ＝2xx6＝x6，

在Rt△FGQ中，∵FG2＝FQ2＋GQ2，

∴142＝（x）2＋（6x）2，

∴x＝8或5（舍去），

∴BF＝2x＝16．