【题目】从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图①,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD是△ABC的完美分割线;
(2)如图②,在△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.
【答案】(1)详见解析;(2)
【解析】
(1)根据三角形内角和定理求出∠ACB=80°,根据角平分线的定义得到∠ACD=40°,证明△BCD∽△BAC,即可得到结论;
(2)根据完美分割线的定义,以及△ACD是以CD为底边的等腰三角形,得到△BCD∽△BAC,从而,设BD=x,解方程求出x,根据相似三角形的性质定理列式计算即可.
(1)∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,∴△ABC不是等腰三角形.
∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD∠ACB=40°,∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD是等腰三角形.
∵∠BCD=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,∴△BCD∽△BAC,∴CD是△ABC的完美分割线;
(2)∵CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,∴△BCD∽△BAC,∴.
∵AC=AD=2,BC,设BD=x,则AB=4+x,∴,解得:x=﹣1±.
∵x>0,∴BD=x=﹣1.
∵△BCD∽△BAC,∴.
∵AC=2,BC,BD=﹣1,∴CD.
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【题目】如图,抛物线的图象与x轴交于A(﹣1.0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣3),顶点为D.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)求此抛物线顶点D的坐标和对称轴.
(3)探究对称轴上是否存在一点P,使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的P点的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知AB∥EF∥CD,AD与BC相交于点O.
(1)如果CE=3,EB=9,DF=2,求AD的长;
(2)如果BO:OE:EC=2:4:3,AB=3,求CD的长.
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【题目】如图,A,P,B,C是⊙O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.
(1)判断△ABC的形状,并证明你的结论;
(2)若BC的长为6,求⊙O的半径.
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【题目】如图,已知点A,B分别是反比例函数y(x<0),y(x>0)的图象上的点,且∠AOB=90°,tan∠BAO,则k的值为_________.
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【题目】如图①,AB为⊙O的直径,AD与⊙O相切于点A,DE与⊙O相切于点E,点C为DE延长线上一点,且CE=CB.
(1)求证:BC为⊙O的切线;
(2)连接AE并延长与BC的延长线交于点G(如图②所示).若AB=,CD=9,求线段BC和EG的长.
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【题目】“长跑“是中考体育必考项目之一,某中学为了了解九年级学生“长跑”的情况,随机抽取部分九年级学生,测试其长跑成绩(男子1000米,女子800米),按长跑时间长短依次分为A、B、C、D四个等级进行统计,制作出如下两个不完整的统计图.
根据所给信息,解答下列问题:
(1)在扇形统计用中,C对应的扇形圆心角是____度.
(2)补全条形统计图.
(3)所抽取学生的“长跑”测试成绩的中位数会落在_____等级.
(4)该校九年有486名学生,请估计“长跑”测试成绩达到A级的学生有多少人?
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【题目】如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°.
(1)求证:四边形ABCD是矩形.
(2)若∠ADF:∠FDC=3:2,DF⊥AC,则∠BDF的度数是多少?
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