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【题目】从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.

1)如图,在ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD是△ABC的完美分割线;

2)如图,在ABC中,AC=2BC=CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.

【答案】(1)详见解析;(2)

【解析】

1)根据三角形内角和定理求出∠ACB=80°,根据角平分线的定义得到∠ACD=40°,证明△BCD∽△BAC,即可得到结论;

2)根据完美分割线的定义,以及△ACD是以CD为底边的等腰三角形,得到△BCD∽△BAC,从而,设BD=x,解方程求出x,根据相似三角形的性质定理列式计算即可.

1)∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,∴△ABC不是等腰三角形.

CD平分∠ACB,∴∠ACD=BCDACB=40°,∴∠ACD=A=40°,∴△ACD是等腰三角形.

∵∠BCD=A=40°,∠CBD=ABC,∴△BCD∽△BAC,∴CD是△ABC的完美分割线;

2)∵CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,∴△BCD∽△BAC,∴

AC=AD=2BC,设BD=x,则AB=4+x,∴,解得:x=1±

x0,∴BD=x=1

∵△BCD∽△BAC,∴

AC=2BCBD=1,∴CD

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