Question

【题目】如图，Rt△ABC中，AC＝CB，点E，F分别是AC，BC上的点，△CEF的外接圆交AB于点Q，D．

（1）如图1，若点D为AB的中点，求证：∠DEF＝∠B；

（2）在（1）问的条件下：

①如图2，连结CD，交EF于H，AC＝4，若△EHD为等腰三角形，求CF的长度．

②如图2，△AED与△ECF的面积之比是3：4，且ED＝3，求△CED与△ECF的面积之比（直接写出答案）．

（3）如图3，连接CQ，CD，若AE+BF＝EF，求证：∠QCD＝45°．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)①0或2或4﹣2;②;（3）见解析.

【解析】

（1）连结CD．根据圆周角定理解决问题即可．

（2）①分三种情形：如图2-1中，当EH=HD，可证四边形CFDE是正方形CF=2．如图2-2中，当EH=ED时，∠EDH=∠EHD=67.5°，如图2-3中，当DA=FH时，点E于A重合，点H与C重合，分别求解即可解决问题．

②如图2-4中，作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，连接DF．证明△ADE≌△CDF（SAS），推出AE=CF，S△ADE=S△CDF，由DC平分∠ACB，DM⊥AC，DN⊥BC，推出DM=DN，可得四边形DMCN是正方形，推出DM=CM=CN=DN，因为＝＝＝＝，，所以可以假设DN=3k，EC=4k，则AC=BC=6k，AE=CF=2k，再利用三角形的面积公式计算机可解决问题．

（3）连接OD，OQ，作ER⊥AB，OH⊥AB，FK⊥AB．想办法证明△ODQ是等腰直角三角形即可解决问题．

（1）证明：连结CD．

在Rt△ABC中，∵AC＝CB，

∴∠A＝∠B＝45°，

∵CD＝DB，

∴∠DCB＝∠B＝45°，

∵∠DEF＝∠DCB，

∴∠DEF＝∠B．

（2）解：①如图2﹣1中，当EH＝HD，可证四边形CFDE是正方形CF＝2．

如图2﹣2中，当EH＝ED时，∠EDH＝∠EHD＝67.5°，

∵∠EDF＝∠CDB＝90°，

∴∠EDH＝∠BDF＝67.5°，

∴∠BFD＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，

∴∠BDF＝∠BFD，

∴BD＝BF，

∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，

∴AB＝＝4，

∴BD＝BF＝2，

∴CF＝4﹣2．

如图2﹣3中，当DA＝FH时，点E于A重合，点H与C重合，CF＝0．

综上所述，满足条件的CF的值为0或2或4﹣2．

②如图中，作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，连接DF．

∵CA＝CB，AD＝DB，∠ACB＝90°，

∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，CD＝DA＝DB

∴DE＝DF，

∵∠ADC＝∠EDF＝90°，

∴∠ADE＝∠CDF，

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴AE＝CF，S△ADE＝S△CDF，

∵DC平分∠ACB，DM⊥AC，DN⊥BC，

∴DM＝DN，可得四边形DMCN是正方形，

∴DM＝CM＝CN＝DN，

∵＝＝＝＝，

∴可以假设DN＝3k，EC＝4k，则AC＝BC＝6k，AE＝CF＝2k，

∴＝＝．

（3）证明：连接OD，OQ，作ER⊥AB，OH⊥AB，FK⊥AB．

∵ER∥OH∥FK，EO＝OF，

∴RH＝HK

∴OH＝（ER+FK），

∵ER＝AE，FK＝FB，

∴OH＝（AE+BF）＝EF＝OE＝OQ，

∴∠OQD＝∠ODQ＝45°，

∴∠QOD＝90°，

∴∠QCD＝45°．