Question

20．在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．
（1）将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处（如图①所示），连接DE，DE和BC相交于点F，试说明△BDF为等腰三角形，并求BF的长；
（2）将矩形纸片折叠，使B与D重合（如图②所示），求折痕GH的长．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质得出∠ADB=∠EDB，根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC，从而求得∠BDE=∠DBC，根据等角对等边得出BF=DF，即可证得△BDF为等腰三角形，设BF=DF=x，则FC=8-x，在RT△DCF中，根据勾股定理即可求得BF的长；
（2）由折叠性质得DH=BH，设BH=DH=y，则CH=8-y，在RT△CDH中，根据勾股定理求得BH、DH的长，由翻折的性质可得，BG=DG，∠BHG=∠DHG，进而得出∠DHG=∠DGH，根据等角对等边得出DH=DG，从而得出BH=DH=DG=BG，证得四边形BHDG是菱形，然后根据S_菱形=$\frac{1}{2}$BD•GH=BH•CD，即可求得GH的长．

解答 解：（1）如图①，由折叠得，∠ADB=∠EDB，AD=DE，AB=BE，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠BDE=∠DBC，
∴BF=DF，
∴△BDF为等腰三角形，
∵AB=6，BC=8．
∴DE=8，
设BF=DF=x，
∴FC=8-x，
在RT△DCF中，DF²=DC²+FC²，
∴x²=6²+（8-x）²，解得x=$\frac{25}{4}$，
∴BF的长为$\frac{25}{4}$；
（2）如图②，由折叠得，DH=BH，设BH=DH=y，则CH=8-y，
在RT△CDH中，DH²=DC²+CH²，
即y²=6²+（8-y）²，解得y=$\frac{25}{4}$，
连接BD、BG，
由翻折的性质可得，BG=DG，∠BHG=∠DHG，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠BHG=∠DGH，
∴∠DHG=∠DGH，
∴DH=DG，
∴BH=DH=DG=BG，
∴四边形BHDG是菱形，
在RT△BCD中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=10，
∵S_菱形=$\frac{1}{2}$BD•GH=BH•CD，即$\frac{1}{2}$×10•GH=$\frac{25}{4}$×6，
解得GH=$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质勾股定理的应用菱形的判定，菱形的面积等，折叠的性质的应用是本题的关键．