【题目】在平面直角坐标系xoy中,点M在x轴的正半轴上,⊙M交x轴于A、B两点,交y轴C、D于两点,且C为弧AE的中点,AE交y轴于点G点,若点C的坐标为(0,2).
(1)连接MG、BC,求证:MG∥BC;
(2)若CE∥AB,直线y=kx﹣1(k≠0)将四边形ACEB面积二等分,求k的值;
(3)如图2,过O、P(2,2)作⊙O1交x轴正半轴于G,交y轴负半轴于H,I为△GOH的内心,过I作IN⊥GH于N,当⊙O1的大小变化时,试说明GN﹣NH的值不变并求其值.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析,GN﹣NH的值为4
【解析】
(1)连接AC,设AE与BC的交点为F,如图1①,由题可知AM=BM,要证MG∥BC,只需证AG=FG,由于∠ACF=90°,只需证AG=CG即可.
(2)连接AC、CE、BE,设AE与BC的交点为F,直线y=kx﹣1与CE交于P,与AB交于Q,如图1②.由条件CE∥AB可求出∠ACO的度数,进而可求出CE、AB的长.用k的代数式表示出CP、AQ的长度,然后根据条件列出关于k的方程,就可求出k的值.
(3)过点I作IA⊥OH于A,作IB⊥OG于B,过点P作PC⊥y轴于C,作PD⊥x轴于D,连接IO、IH、IG、PH、PG,如图2,根据角平分线的性质可得IA=IB=IN,运用勾股定理可得AH=NH,GN=GB,OA=OB,从而可得GN﹣NH=OG﹣OH.易证矩形OCPD是正方形,从而有∠CPD=90°,PC=PD.进而可证到△PCH≌△PDG,则有CH=DG,即CO+OH=OG﹣OD,从而有OG﹣OH=4,进而可得GN﹣NH=OG﹣OH=4,问题得以解决.
解:(1)连接AC,设AE与BC的交点为F,如图1①,
∵AB是⊙M的直径,AB⊥CD,
∴∠ACB=90°,.
∵,
∴.
∴∠ACD=∠CAE.
∴GA=GC,∠GCF=90°﹣∠ACD=90°﹣∠CAE=∠CFG.
∴GC=GF.
∴AG=GF.
∵AM=BM,
∴MG∥BC.
(2)连接AC、CE、BE,设AE与BC的交点为F,直线y=kx﹣1与CE交于P,与AB交于Q,如图1②.
∵CE∥AB,∴∠CEA=∠BAE.
∵,∴∠CAE=∠CEA.
∴∠ACO=∠CAE=∠GAO.
∵∠AOC=90°,
∴3∠ACO=90°.
∴∠ACO=30°.
∵点C的坐标为(0,2),
∴OC=2.
∴A0=OCtan∠ACO=2×=2.
∴点A的坐标为(﹣2,0),AC=2AO=4.
∵,
∴EC=AC=4,∠ABC=∠CAE=30°.
∴AB=2AC=8.
∵yQ=0,
∴kxQ﹣1=0,即xQ=.
∴AQ=﹣(﹣2)=+2.
∵点C的坐标为(0,2),CE∥AB,
∴yP=2.
∴kxP﹣1=2,即xP=.
∴CP=.
∵S梯形ACPQ=S梯形ABEC,
∴(CP+AQ)OC=×(CE+AB)OC.
∴2(CP+AQ)=CE+AB.
∴2(++2)=4+8=12.
解得:k=.
经检验k=是原方程的解.
∴k的值为.
(3)过点I作IA⊥OH于A,作IB⊥OG于B,过点P作PC⊥y轴于C,作
PD⊥x轴于D,连接IO、IH、IG、PH、PG,如图2.
∵点I是△GOH的内心,
∴点I是△GOH的内角平分线的交点.
∵IA⊥OH,IB⊥OG,IN⊥GH,
∴IA=IB=IN.
∴AH===NH.
同理GN=GB,OA=OB.
∴GN﹣NH=GB﹣AH=(OG﹣OB)﹣(OH﹣OA)=OG﹣OH.
∵P点坐标为(2,2),
∴OD=OC=2.
∵PC⊥OC,PD⊥OD,OC⊥OD,
∴∠PCO=∠COD=∠PDO=90°.
∴四边形OCPD是矩形.
∵OD=OC,
∴矩形OCPD是正方形.
∴∠CPD=90°,PC=PD.
∵GH是⊙O1直径,
∴∠GPH=90°.
∴∠CPD=∠GPH.
∴∠CPH=∠DPG.
∴△PCH≌△PDG(ASA).
∴CH=DG.
∴CO+OH=OG﹣OD.
∴2+OH=OG﹣2.
∴OG﹣OH=4.
∴GN﹣NH=OG﹣OH=4.
∴GN﹣NH的值不变,其值为4.
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【题目】某超市对今年“元旦”期间销售A、B、C三种品牌的绿色鸡蛋情况进行了统计,并绘制如图所示的扇形统计图和条形统计图.根据图中信息解答下列问题:
(1)该超市“元旦”期间共销售 个绿色鸡蛋,A品牌绿色鸡蛋在扇形统计图中所对应的扇形圆心角是 度;
(2)补全条形统计图;
(3)如果该超市的另一分店在“元旦”期间共销售这三种品牌的绿色鸡蛋1500个,请你估计这个分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋的个数?
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【题目】如图①,已知点A在反比例函数(x>0)的图像上,点B在经过点(-2,1)的反比例函数(x<0)的图像上,连结OA,OB,AB.
(1)求k的值;
(2)若∠AOB=90°,求∠OAB的度数;
(3)将反比例函数(x>0)的图像绕坐标原点O逆时针旋转45°得到曲线l,过点E ,F的直线与曲线l相交于点M,N,如图②所示,求△OMN的面积.
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【题目】6月14日是“世界献血日”,某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血.献血时要对献血者的血型进行检测,检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型.在献血者人群中,随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计,并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表:
血型 | A | B | AB | O |
人数 |
| 10 | 5 |
|
(1)这次随机抽取的献血者人数为 人,m= ;
(2)补全上表中的数据;
(3)若这次活动中该市有3000人义务献血,请你根据抽样结果回答:
从献血者人群中任抽取一人,其血型是A型的概率是多少?并估计这3000人中大约有多少人是A型血?
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【题目】下列说法正确的是( )
A. “打开电视机,正在播世界杯足球赛”是必然事件
B. “掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛掷硬币2次就有1次正面朝上
C. 一组数据2,3,4,5,5,6的众数和中位数都是5
D. 甲组数据的方差S甲2=0.09,乙组数据的方差S乙2=0.56,则甲组数据比乙组数据稳定
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【题目】我校第二课堂开展后受到了学生的追捧,学期结束后对部分学生做了一次“我最喜爱的第二课堂”问卷调查(每名学生都填了调査表,且只选了一个项目),统计后趣味数学、演讲与口才、信息技术、手工制作榜上有名.其中选信息技术的人数比选手工制作的少8人;选趣味数学的人数不仅比选手工制作的人多,且为整数倍;选趣味数学与选手工制作的人数之和是选演讲与口才与选信息技术的人数之和的5倍;选趣味数学与选演讲与口才的人数之和比选信息技术与选手工制作的人数之和多24人.则参加调查问卷的学生有________人。
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,线段EF在对角线AC上(E不与A重合,F不与C重合),EG⊥AD,FH⊥BC,垂足分别是G、H,且EG+FH=EF.
(1)写出图中与△AEG相似的三角形;
(2)求线段EF的长;
(3)设EG=x,△AEG与△CFH的面积和为S,写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围,并求出S的最小值
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【题目】现在把一张正方形纸片按如图方式剪去一个半径为40厘米的圆面后得到如图纸片,且该纸片所能剪出的最大圆形纸片刚好能与前面所剪的扇形纸片围成一圆锥表面,则该正方形纸片的边长约为( )厘米.(不计损耗、重叠,结果精确到1厘米,≈1.41,≈1.73)
A. 64 B. 67 C. 70 D. 73
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