【题目】如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,线段EF在对角线AC上(E不与A重合,F不与C重合),EG⊥AD,FH⊥BC,垂足分别是G、H,且EG+FH=EF.
(1)写出图中与△AEG相似的三角形;
(2)求线段EF的长;
(3)设EG=x,△AEG与△CFH的面积和为S,写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围,并求出S的最小值
【答案】(1)与△AEG相似的三角形分别为:△ACD、△CFH、△CAB;(2)EF=;(3)S=,自变量x的取值范围为0<x<,S的最小值为.
【解析】
(1)根据相似三角形的判定易得解;
(2)先求得AC=5,由△AGE∽△ACD得,得AE=GE,同理得CF=FH,根据AE+EF+FC=AC,即(GE+FH)+EF=5,得 EF+EF=5,即可得解;
(3)根据△AEG∽△ACD,得,即AG=x ,由EG+FH=EF,得FH=EF-EG=-x,同理可得CH=(-x),再根据S=S△AEG+S△CFH=AG·EG+CH·FH即可得到S关于x的函数关系式,其中自变量x的取值范围为0<x< ,然后将二次函数的解析式变形为顶点式即可得解.
(1)与△AEG相似的三角形分别为:
△ACD、△CFH、△CAB;
(2)在RtABC中,AB=3,BC=4,
AC==5,
由△AGE∽△ACD得,得AE=GE,
同理得CF=FH,
AE+EF+FC=AC,
即 GE+EF+ FH=5,
(GE+FH)+EF=5,
∵EG+FH=EF,
∴ EF+EF=5,
EF=;
(3)若EG=x,
∵△AEG∽△ACD,
∴,即,得AG=x ,
∵EG+FH=EF,
∴FH=EF-EG=-x,
又由△CFH∽△CAB,
同理可得CH=(-x),
S=S△AEG+S△CFH
=AG·EG+CH·FH
=·x·x+·(-x)·(-x)
= ,
其中自变量x的取值范围为0<x< ,
通过配方,S=,
∴S的最小值为.
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【题目】如图,已知函数y=x+2的图象与函数y=(k≠0)的图象交于A、B两点,连接BO并延长交函数y=(k≠0)的图象于点C,连接AC,若△ABC的面积为8.则k的值为_____.
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【题目】在平面直角坐标系xoy中,点M在x轴的正半轴上,⊙M交x轴于A、B两点,交y轴C、D于两点,且C为弧AE的中点,AE交y轴于点G点,若点C的坐标为(0,2).
(1)连接MG、BC,求证:MG∥BC;
(2)若CE∥AB,直线y=kx﹣1(k≠0)将四边形ACEB面积二等分,求k的值;
(3)如图2,过O、P(2,2)作⊙O1交x轴正半轴于G,交y轴负半轴于H,I为△GOH的内心,过I作IN⊥GH于N,当⊙O1的大小变化时,试说明GN﹣NH的值不变并求其值.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且点C是的中点,过点 C作AD的垂线 EF交直线 AD于点 E.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)连接BC,若AB=5,BC=3,求线段AE的长.
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【题目】在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动,同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动,设两点移动的时间为t秒,回答下列问题:
(1)如图1,当t为几秒时,△PBQ的面积等于5cm2?
(2)如图2,当t=秒时,试判断△DPQ的形状,并说明理由;
(3)如图3,以Q为圆心,PQ为半径作⊙Q.
①在运动过程中,是否存在这样的t值,使⊙Q正好与四边形DPQC的一边(或边所在的直线)相切?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由;
②若⊙Q与四边形DPQC有三个公共点,请直接写出t的取值范围。
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【题目】在一条笔直的公路上依次有A,C,B三地,甲、乙两人同时出发,甲从A地骑自行车去B地,途经C地休息1分钟,继续按原速骑行至B地,甲到达B地后,立即按原路原速返回A地;乙步行从B地前往A地.甲、乙两人距A地的路程y(米)与时间x(分)之间的函数关系如图所示,请结合图象解答下列问题:
(1)请写出甲的骑行速度为 米/分,点M的坐标为 ;
(2)求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式(不需要写出自变量的取值范围);
(3)请直接写出两人出发后,在甲返回A地之前,经过多长时间两人距C地的路程相等.
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【题目】如图,已知抛物线与x轴交于A、B两点,顶点C的纵坐标为﹣2,现将抛物线向右平移2个单位,得到抛物线 ,则下列结论:①a﹣b+c>0;②b>0;③阴影部分的面积为4;④若c=﹣1,则.其中正确的是_____(写出所有正确结论的序号)
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【题目】如图,一次函数y1=﹣x+4的图象与反比例函数y2=的图象交于A(2,3),B(6,n)两点
(1)观察图象当y1>y2时,x的取值范围是 ;
(2)求反比例函数的解析式及B点坐标;
(3)求△OAB的面积.
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【题目】如图,AB为弓形AB的弦,AB=2,弓形所在圆⊙O的半径为2,点P为弧AB上动点,点I为△PAB的内心,当点P从点A向点B运动时,点I移动的路径长为_____.
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