Question

如图，已知AC=AB，AD=5，DB=4，∠A=2∠E．则CD•DE=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：如图，作辅助线；首先证明A、H、B、E四点共圆，得到DH•DE=DA•DB=4×5=20；然后证明DH=

5

14

CD，得到

5

14

CD•DE=20，即可求出CD•DE=56．

解答：解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，交CD于点H；
过点B作BG∥AH，交DE于点G；
∵AB=AC，
∴CF=BF，∠A=2∠HAD；而∠A=2∠E，
∴∠HAD=∠E，
∴A、H、B、E四点共圆，
∴DH•DE=DA•DB=4×5=20；
∵BG∥AH，且CF=BF，
∴△AHD∽△BGD，CH=HG；
∴

HD

DG

=

AD

BD

=

5

4

，设HD=5λ，则DG=4λ，
∴CD=CH+HD=14λ，
∴DH=

5

14

CD，
∴

5

14

CD•DE=20，
∴CD•DE=56．
故答案为56．

点评：该题主要考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造相似三角形；灵活运用相似三角形的判定及其性质来推理、解答．