Question

4．如图，点P是正△ABC内一点．
（1）以点B为旋转中心，将△PBC逆时针旋转60°，试画出旋转后的图形；
（2）若PB=3，PC=4，∠BPC=150°，请求出PA的长．

Answer 1

分析 （1）根据中心旋转的定义作出图形即可．
（2）先证明△BEP是等边三角形，再证明△AEP是直角三角形，利用勾股定理即可解决．

解答 解：（1）以点B为旋转中心，将△PBC逆时针旋转60°，△BAE就是所求的三角形．
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BAE是由△BCP逆时针旋转60°得到，
∴BP=BE=3，AE=PC=4，∠EBP=60°，∠BPC=∠BEA=150°
∴△EBP是等边三角形，
∴EP=PB=EB=3，∠BEP=60°，
∴∠AEP=∠AEB-∠BEP=90°，
在RT△AEP中，∵∠AEP=90°，AE=4，EP=3，
∴AP=$\sqrt{A{E}^{2}+E{P}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．

点评 本题考查旋转变换、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是通过旋转添加辅助线构造特殊三角形，利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．