Question

【题目】问题背景：在△ABC中，∠B=2∠C，点D为线段BC上一动点，当AD满足某种条件时，探讨在线段AB、BD、CD、AC四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系．

例如：在图1中，当AB=AD时，可证得AB=DC，现在继续探索：

任务要求：

（1）当AD⊥BC时，如图2，求证：AB+BD=DC；

（2）当AD是∠BAC的角平分线时，判断AB、BD、AC的数量关系，并证明你的结论。

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；

（2）AB+BD=AC．

【解析】

（1）作辅助线“在DC上截取DM=BD，连接AM”构建全等三角形△ABD≌△AMD，然后由全等三角形的对应角相等以及等腰三角形的性质证得∠B=∠AMB；再由已知条件、三角形外角定理求得∠C=∠MAC，所以AM=MC；最后根据等量代换求得MC=AB，即AB+BD=DC；
（2）延长AB到M，使BM=BD，连接MD．∠ABD=∠M+∠BDM=2∠M．由∠ABD=2∠C，得∠M=∠C．再证△AMD≌△ACD，可得结论AB+BD=AC．

解：

（1）在DC上截取DM=BD，连接AM．
在△ABD与△AMD中，

，
∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴AB=AM，
∴∠B=∠AMB．
∵∠AMD=∠MAC+∠C，∠B=2∠C，
∴∠C=∠MAC，
∴AM=MC，
∴MC=AB，
则AB+BD=DC；
（2）

如图示，延长AB到M，使BM=BD，连接MD．
∴∠ABD=∠M+∠BDM=2∠M．
∵∠ABD=2∠C，
∴∠M=∠C．
又∵AD是∠BAC的角平分线，

∴∠BAD=∠CAD，
AD=AD（公共边）
∴△AMD≌△ACD（AAS）．
∴AM=AC，
∴AB+BD=AC．