Question

【题目】如图，抛物线y=﹣ x2+ x+3 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．

（1）求直线BC的函数表达式；
（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）
②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值；
（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由y=0得﹣ x2+ x+3 =0，

解得：x1=﹣3，x2=9，

∴B（9，0），

由x=0得y=3 ，

∴C（0，3 ），

设直线BC的解析式为y=kx+b，∴ ，

∴ ，

∴直线BC的解析式为y=﹣ x+3

（2）

解：①过p作PG⊥x轴于G，

∵A（﹣3，0），C（0，3 ），

∴OA=3．OC=3 ，

∴tan∠CAO= ，

∴∠CAO=60°，

∵AP=t，

∴PG= t，AG= t，

∴OG=3﹣ t，

∴P（ t﹣3， t），

∵DQ⊥x轴，BQ=2t，

∴OQ=9﹣2t，

∴D（9﹣2t，﹣ t2+ t），

②过P作PH⊥QD于H，

则四边形PGQH是矩形，

∴HQ=PG，∵PQ=PD，PH⊥QD，∴DQ=2HQ=2PG，∵P（ t﹣3， t），D（9﹣2t，﹣ t2+ t），

∴﹣ t2+ t=2× t，

解得：t1=0（舍去），t2= ，∴当PQ=PD时，t的值是 ；

（3）

解：∵点F为PD的中点，

∴F的横坐标为： （ t﹣3+9﹣2t）=﹣ t+3，F的纵坐标为 （ t﹣ t2+ t）=﹣ t2+ t，

∴F（﹣ t+3，﹣ t2+ t），

∵点F在直线BC上，

∴﹣ t2+ t=﹣ （﹣ t+3）+3 ，

∴t=3，

∴F（ ， ）

【解析】（1）更好函数的解析式得到B（9，0），C（0，3 ），解方程组即可得到结论；（2）①过p作PG⊥x轴于G，解直角三角形得到∠CAO=60°，得到PG= t，AG= t，于是得到P（ t﹣3， t），把OQ=9﹣2t代入二次函数的解析式即可得到D（9﹣2t，﹣ t2+ t），②过P作PH⊥QD于H，得到四边形PGQH是矩形，列方程即可得到即可；（3）根据折叠坐标公式得到F（﹣ t+3，﹣ t2+ t），由点F在直线BC上，列方程即可得到结论．