【题目】如图,已知AB是⊙O的弦,OB=2,∠B=30°,C是弦AB上的任意一点 (不与点A、B重合),连接CO并延长CO交⊙O于点D,连接AD.
(1)弦长AB等于(结果保留根号);
(2)当∠D=20°时,求∠BOD的度数;
(3)当AC的长度为多少时,以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似?请写出解答过程.
【答案】
(1)2
(2)解:连接OA,
∵OA=OB,OA=OD,
∴∠BAO=∠B,∠DAO=∠D,
∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D,
又∵∠B=30°,∠D=20°,
∴∠DAB=50°,
∴∠BOD=2∠DAB=100°;
(3)解:∵∠BCO=∠A+∠D,
∴∠BCO>∠A,∠BCO>∠D,
∴要使△DAC与△BOC相似,只能∠DCA=∠BCO=90°,
此时∠BOC=60°,∠BOD=120°,
∴∠DAC=60°,
∴△DAC∽△BOC,
∵∠BCO=90°,
即OC⊥AB,
∴AC= AB=
.
∴当AC的长度为 时,以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似.
【解析】解:(1)过点O作OE⊥AB于E, 则AE=BE= AB,∠OEB=90°,
∵OB=2,∠B=30°,
∴BE=OBcos∠B=2× =
,
∴AB=2 ;
故答案为:2 ;
(1)过点O作OE⊥AB于E,由垂径定理即可求得AB的长;(2)连接OA,由OA=OB,OA=OD,可得∠BAO=∠B,∠DAO=∠D,则可求得∠DAB的度数,又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半,即可求得∠DOB的度数;(3)由∠BCO=∠A+∠D,可得要使△DAC与△BOC相似,只能∠DCA=∠BCO=90°,然后由相似三角形的性质即可求得答案.
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【题目】在△ABC中,CA=CB=4,∠ACB=120°,将一块足够大的直角三角尺PMN(∠M=90°、∠MPN=30°)按如图所示放置,顶点P在线段AB上滑动,三角尺的直角边PM始终经过点C,并且与CB的夹角∠PCB=α,斜边PN交AC于点D.
(1)当PN∥BC时,∠ACP=_____度.
(2)在点P滑动的过程中,当AP长度为多少时,△ADP与△BPC全等.
(3)在点P的滑动过程中,△PCD的形状可以是等腰三角形吗?若不可以,请说明理由;若可以,请求出夹角α的大小.
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【题目】(1)当一次性购物标价总额是300元时,甲、乙超市实付款分别是多少?
(2)当标价总额是多少时,甲、乙超市实付款一样?
(3)小王两次到乙超市分别购物付款198元和466元,若他只去一次该超市购买同样多的商品,可以节省多少元?
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【题目】如图,反映的过程是小涛从家出发,去菜地浇水,又去玉米地锄草,然后回家.其中x表示时间,y表示小涛离家的距离.
(1)菜地离小涛家的距离是____km,小涛走到菜地用了____min,小涛给菜地浇水用了___min.
(2)菜地离玉米地的距离是____km,小涛从菜地到地用了____min,小涛给玉米地锄草用了____min.
(3)玉米地离小涛家的距离是___km,小涛从玉米地走回家的平均速度是____.
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【题目】如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90,AC=BC=4,D为AB的中点,E,F分别是AC, BC上的点(点E不与端点A,C重合),且AE=CF,连接EF并取EF的中点O,连接DO并延长至点G,使GO=OD.连接DE, GE, GF.
(1)求证:四边形EDFG是正方形;
(2)直接写出四边形EDFG面积的最小值和E点所在的位置.
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【题目】如图,已知∠AOB=90°,射线OA绕点O逆时针方向以每秒6°的速度旋转(当旋转角度等于360°时,OA停止旋转),同时OB绕点O以每秒2°的速度旋转(当OA停止旋转时,OB同样停止旋转).求当OA旋转多少秒,旋转后的OA与OB形成的角度为50°.
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【题目】如图,已知直线y= x﹣2与x轴交于点A,与y轴交于点C,经过A、C两点的抛物线与轴交于另一点B(1,0).
(1)求该抛物线的解析式.
(2)在直线y= x﹣2上方的抛物线上存在一动点D,连接AD、CD,设点D的横坐标为m,△DCA的面积为S,求S与m的函数关系式,并求出S的最大值.
(3)在抛物线上是否存在一点M,使得以M为圆心,以 为半径的圆与直线AC相切?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)在y轴的正半轴上存在一点P,使∠APB的值最大,请直接写出当∠APB最大时点P的坐标.
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【题目】如图,AD是⊙O的切线,切点为A,AB是⊙O的弦.过点B作BC∥AD,交⊙O于点C,连接AC,过点C作CD∥AB,交AD于点D.连接AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且∠BCP=∠ACD.
(1)判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AB=9,BC=6.求PC的长.
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