Question

【题目】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．

例如：若代数式M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．

∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，

∴当a＝b＝1时，代数式M有最小值1．

请根据上述材料解决下列问题：

（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　；

（2）若代数式M＝+2a+1，求M的最小值；

（3）已知a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，求代数式a+b+c的值．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）M的最小值为﹣3；（3）a+b+c=.

【解析】

（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可；

（2）先提取，将二次项系数化为1，再配成完全平方，即可得答案；

（3）将等式左边进行配方，利用偶次方的非负性可得a，b，c的值，从而问题得解．

（1）∵a2+4a+4＝（a+2）2

故答案为：4；

（2）M＝+2a+1

＝（a2+8a+16）﹣3

＝（a+4）2﹣3

∴M的最小值为﹣3

（3）∵a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，

∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+（2c﹣1）2＝0，

∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，2c﹣1＝0

∴a＝b＝1， ，

∴a+b+c=.．