Question

【题目】如图1 ,等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线 DE 经过点 C，过 A 作 AD⊥DE 于点 D，过 B 作 BE⊥DE 于点 E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为 “K 型全等”．（不需要证明）

（模型应用）若一次函数 y=kx+4（k≠0）的图像与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点．

（1）如图 2，当 k=－1 时，若点 B 到经过原点的直线 l 的距离 BE 的长为 3，求点 A 到直线 l 的距离 AD 的长；

（2）如图 3，当 k=－ 时，点 M 在第一象限内，若△ABM 是等腰直角三角形，求点

M 的坐标；

（3）当 k 的取值变化时，点 A 随之在 x 轴上运动，将线段 BA 绕点 B 逆时针旋转 90° 得到 BQ，连接 OQ，求 OQ 长的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点M的坐标为（7,3）或（4,7）或（，）；（3）OQ的最小值为4．

【解析】

（1）先求出A、B两点的坐标，根据勾股定理即可求出OE的长，然后利用AAS证出△ADO≌△OEB，即可求出AD的长；

（2）先求出A、B两点的坐标，根据等腰直角三角形的直角顶点分类讨论，分别画出对应的图形，利用AAS证出对应的全等三角形即可分别求出点M的坐标；

（3）根据k的取值范围分类讨论，分别画出对应的图形，设点A的坐标为（x，0），证出对应的全等三角形，利用勾股定理得出OQ2与x的函数关系式，利用平方的非负性从而求出OQ的最值．

解：（1）根据题意可知：直线AB的解析式为y=-x+4

当x=0时，y=4；当y=0时，x=4

∴点A的坐标为（4,0）点B的坐标为（0,4）

∴OA=BO=4

根据勾股定理：OE=

∵∠ADO=∠OEB=∠AOB=90°

∴∠AOD＋∠OAD=90°，∠AOD＋∠BOE=90°

∴∠OAD=∠BOE

在△ADO和△OEB中

∴△ADO≌△OEB

∴AD= OE=

（2）由题意可知：直线AB的解析式为y=x+4

当x=0时，y=4；当y=0时，x=3

∴点A的坐标为（3,0）点B的坐标为（0,4）

∴OA=3，BO=4

①当△ABM是以∠BAM为直角顶点的等腰直角三角形时，AM=AB，过点M作MN⊥x轴于N

∵∠MNA=∠AOB=∠BAM=90°

∴∠MAN＋∠AMN=90°，∠MAN＋∠BAO=90°

∴∠AMN=∠BAO

在△AMN和△BAO中

∴△AMN≌△BAO

∴AN=BO=4，MN=AO=3

∴ON=OA＋AN=7

∴此时点M的坐标为（7,3）；

②当△ABM是以∠ABM为直角顶点的等腰直角三角形时，BM=AB，过点M作MN⊥y轴于N

∵∠MNB=∠BOA=∠ABM=90°

∴∠MBN＋∠BMN=90°，∠MBN＋∠ABO=90°

∴∠BMN=∠ABO

在△BMN和△ABO中

∴△BMN≌△ABO

∴BN=AO=3，MN=BO=4

∴ON=OB＋BN=7

∴此时点M的坐标为（4,7）；

③当△ABM是以∠AMB为直角顶点的等腰直角三角形时，MA=MB，过点M作MN⊥x轴于N，MD⊥y轴于D，设点M的坐标为（x，y）

∴MD =ON=x，MN = OD =y，∠MNA=∠MDB=∠BMA=∠DMN=90°

∴BD=OB－OD=4－y，AN=ON－OA=x－3，∠AMN＋∠DMA=90°，∠BMD＋∠DMA=90°

∴∠AMN=∠BMD

在△AMN和△BMD中

∴△AMN≌△BMD

∴MN=MD，AN=BD

∴x=y，x－3=4－y

解得：x=y=

∴此时M点的坐标为（，）

综上所述：点M的坐标为（7,3）或（4,7）或（，）．

（3）①当k＜0时，如图所示，过点Q作QN⊥y轴，设点A的坐标为（x，0）该直线与x轴交于正半轴，故x＞0

∴OB=4，OA=x

由题意可知：∠QBA=90°，QB=BA

∵∠QNB=∠BOA=∠ABQ=90°

∴∠QBN＋∠BQN=90°，∠QBN＋∠ABO=90°

∴∠BQN=∠ABO

在△BQN和△ABO中

∴△BQN≌△ABO

∴QN=OB=4，BN=OA=x

∴ON=OB＋BN=4＋x

在Rt△OQN中，OQ2=ON2＋QN2=（4＋x）2＋42=（x＋4）2＋16，其中x＞0

∴OQ2=（x＋4）2＋16＞16

②当k＞0时，如图所示，过点Q作QN⊥y轴，设点A的坐标为（x，0）该直线与x轴交于负半轴，故x＜0

∴OB=4，OA=-x

由题意可知：∠QBA=90°，QB=BA

∵∠QNB=∠BOA=∠ABQ=90°

∴∠QBN＋∠BQN=90°，∠QBN＋∠ABO=90°

∴∠BQN=∠ABO

在△BQN和△ABO中

∴△BQN≌△ABO

∴QN=OB=4，BN=OA=-x

∴ON=OB－BN=4＋x

在Rt△OQN中，OQ2=ON2＋QN2=（4＋x）2＋42=（x＋4）2＋16，其中x＜0

∴OQ2=（x＋4）2＋16≥16（当x=-4时，取等号）

综上所述：OQ2的最小值为16

∴OQ的最小值为4．