【题目】如图,在菱形ABCD中,P是对角线AC上任一点(不与A,C重合),连接BP,DP,过P作PE∥CD交AD于E,过P作PF∥AD交CD于F,连接EF.
(1)求证:△ABP≌△ADP;
(2)若BP=EF,求证:四边形EPFD是矩形.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
试题(1)根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB,AD=AB,再利用全等三角形的判定得出△ABP≌△ADP即可;
(2)先证明四边形EPFD是平行四边形,再由全等三角形的性质得出BP=DP,由已知证出DP=EF,即可得出结论.
试题解析:(1)证明:∵点P是菱形ABCD对角线AC上的一点,
∴∠DAP=∠PAB,AD=AB,
∵在△APB和△APD中,
,
∴△ABP≌△ADP(SAS);
(2)证明:∵PE∥CD,PF∥AD,
∴四边形EPFD是平行四边形,
由(1)得:△ABP≌△ADP,
∴BP=DP,
又∵BP=EF,
∴DP=EF,
∴四边形EPFD是矩形.
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【题目】如图,△ABC与△AEF中,AB=AE,BC=EF,∠B=∠E,AB交EF于D.给出下列结论:①AF=AC;②DF=CF;③∠AFC=∠C;④∠BFD=∠CAF.
其中正确的结论个数有. ( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】如图1 ,等腰直角三角形 ABC 中,∠ACB=90°,CB=CA,直线 DE 经过点 C,过 A 作 AD⊥DE 于点 D,过 B 作 BE⊥DE 于点 E,则△BEC≌△CDA,我们称这种全等模型为 “K 型全等”.(不需要证明)
(模型应用)若一次函数 y=kx+4(k≠0)的图像与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点.
(1)如图 2,当 k=-1 时,若点 B 到经过原点的直线 l 的距离 BE 的长为 3,求点 A 到直线 l 的距离 AD 的长;
(2)如图 3,当 k=- 时,点 M 在第一象限内,若△ABM 是等腰直角三角形,求点
M 的坐标;
(3)当 k 的取值变化时,点 A 随之在 x 轴上运动,将线段 BA 绕点 B 逆时针旋转 90° 得到 BQ,连接 OQ,求 OQ 长的最小值.
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【题目】用配方法解下列方程时,配方有错误的是( )
A.x2﹣2x﹣99=0化为(x﹣1)2=100
B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C.2t2﹣7t﹣4=0化为(t﹣)2=
D.3x2﹣4x﹣2=0化为(x﹣)2=
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【题目】观察下列4个命题:其中真命题是( )
(1)三角形的外角和是180°;(2)三角形的三个内角中至少有两个锐角;
(3)如果<0,那么y<0;(4)直线a、b、c,如果a⊥b、b⊥c,那么a⊥c.
A. (1)(2) B. (2)(3) C. (2)(4) D. (3)(4)
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【题目】对定义一种新运算,规定: (其中均为非零常数),这里等式右边是通常的四则运算,例如: .
(1)已知.
①求的值:
②若关于的不等式组无解,求实数的取值范围.
(2)若对任意实数都成立(这里和均有意义),则应满足怎样的关系式
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【题目】如图,点P为正方形ABCD的边CD上一点,BP的垂直平分线EF分别交BC、AD于E、F两点,GP⊥EP交AD于点G,连接BG交EF于点 H,下列结论:①BP=EF;②∠FHG=45°;③以BA为半径⊙B与GP相切;④若G为AD的中点,则DP=2CP.其中正确结论的序号是( )
A. ①②③④ B. 只有①②③ C. 只有①②④ D. 只有①③④
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【题目】学校与图书馆在同一条笔直道路上,甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲、乙两人都匀速步行且同时出发,乙先到达目的地两人之间的距离y(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图所示
(1)根据图象信息,当t= 分钟时甲乙两人相遇,甲的速度为 米/分钟;
(2)求出线段AB所表示的函数表达式
(3)甲、乙两人何时相距400米?
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