Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上任一点(不与A，C重合)，连接BP，DP，过P作PE∥CD交AD于E，过P作PF∥AD交CD于F，连接EF.

(1)求证：△ABP≌△ADP；

(2)若BP=EF，求证：四边形EPFD是矩形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题（1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△ABP≌△ADP即可；

（2）先证明四边形EPFD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出BP=DP，由已知证出DP=EF，即可得出结论．

试题解析：（1）证明：∵点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，

∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，

∵在△APB和△APD中，

，

∴△ABP≌△ADP（SAS）；

（2）证明：∵PE∥CD，PF∥AD，

∴四边形EPFD是平行四边形，

由（1）得：△ABP≌△ADP，

∴BP=DP，

又∵BP=EF，

∴DP=EF，

∴四边形EPFD是矩形．