Question

10．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC、∠BCA的平分线AD，CE交于点O，猜想OE与OD的大小关系和AC与AE、CD的大小关系，并说出你的理由．

Answer 1

分析 连接OB，先求出∠ABC+∠DOE=180°，证出B、D、O、E四点共圆，得出$\widehat{OE}=\widehat{OD}$，即可得出OE=OD；
在CA上取点G，使得CG=CD，连接OG，先证明△GCO≌△DCO，得出∠GOC=∠COD=60°，CD=CG求出∠AOG=∠AOE，再证明△AEO≌△AGO，得出AE=AG，即可得出结论．

解答 解：OE=OD；理由：连接OB，如图所示：
∵∠ABC=60°，
∴∠BAC+∠ACB=120°，
∵∠BAC、∠BCA的平分线AD，CE交于点O，
∴∠OAC+∠OCA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB）=60°，OB平分∠ABC，
∴∠DOE=∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=120°，∠ABO=∠DBO=30°，
∴∠ABC+∠DOE=180°，
∴B、D、O、E四点共圆，
∴$\widehat{OE}=\widehat{OD}$，
∴OE=OD；

AC=AE+CD；理由：
在CA上取点G，使得CG=CD，连接OG，如图所示：
∵∠AOC=180°-$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-60°）=120°，
∴∠AOE=∠COD=60°，
∵在△GCO和△DCO中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OC}&{\;}\\{∠GCO=∠OCD}&{\;}\\{CG=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△GCO≌△DCO（SAS），
∴∠GOC=∠COD=60°，
∴∠AOG=120°-60°=60°=∠AOE，
∵在△AEO和△AGO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠AOG}&{\;}\\{∠EAO=∠GAO}&{\;}\\{AO=AO}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△AGO（AAS），
∴AE=AG，
∴AE+CD=AG+CG=AC．

点评 本题考查四点共圆、全等三角形的判定与性质、圆周角定理的推论、角平分线的运用以及三角形内角和定理；熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．