Question

【题目】在平面直角坐标系 XOY中，对于任意两点 (,)与 (,)的“非常距离”，给出如下定义： 若 ，则点 与点 的“非常距离”为 ；若 ，则点 与点的“非常距离”为 .

例如：点 (1,2)，点 (3,5)，因为 ，所以点 与点 的“非常距离”为 ，也就是图1中线段 Q与线段 Q长度的较大值（点 Q为垂直于 y轴的直线 Q与垂直于 x轴的直线 Q的交点）。

（1）已知点 A(-,0)， B为 y轴上的一个动点，①若点 A与点 B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点 B的坐标；②直接写出点 A与点 B的“非常距离”的最小值；

（2）已知 C是直线 上的一个动点，①如图2，点 D的坐标是（0，1），求点 C与点 D的“非常距离”的最小值及相应的点 C的坐标； ②如图3， E是以原点 O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点 C与点 E的“非常距离”的最小值及相应的点 E和点 C的坐标。

Answer 1

【答案】（1）①B（0，2）或（0，﹣2）；②； （2）① , C（﹣， ）;②点C的坐标为（﹣，），E（﹣,）,最小值为1．

【解析】

根据题目对“非常距离”的定义，即两点间的“非常距离”是指两点横坐标和纵坐标差的绝对值中的较大者，根据这个定义即可解答此题.

（1）解：①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为（0，y）．
∵|﹣ ﹣0|= ≠2，
∴|0﹣y|=2，
解得，y=2或y=﹣2；
∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；
②点A与点B的“非常距离”的最小值为

（2）解：①如图2，

取点C与点D的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”解答，此时|x1﹣x2|=|y1﹣y2|．即AC=AD，
∵C是直线y= x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1），
∴设点C的坐标为（x0 ， x0+3），
∴﹣x0= x0+2，
此时，x0=﹣ ，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|= ，
此时C（﹣ ， ）；
②如图3，

当点E在过原点且与直线y= x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，
设E（x，y）（点E位于第二象限）．则
，
解得， ，
故E（﹣ ， ）．
﹣ ﹣x0= x0+3﹣ ，
解得，x0=﹣ ，
则点C的坐标为（﹣ ， ），
最小值为1．