Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，点P是AC边上的一动点(点P不与端点A、C重合)，过点A作AE⊥BP于D，交BC的延长线于点E.

(1)求证:△ACE≌△BCP;

(2)在点P的移动过程中，若AD=DC，试求CP的长；

(3)试探索：在点P的移动过程中，∠ADC的大小是否保持不变?若保持不变，请求出∠ADC的大小；若有变化，请说明变化情况.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）∠ADC的大小保持不变，为135°.

【解析】

（1）先证明，再根据AAS证明△ACE≌△BCP即可；

（2）由勾股定理求出AB=2，由AD=DC得可证明，进而得，由得BE=AB=2，从而可求得答案；

（3）过点C分别作CF⊥BD于点F，CH⊥AE于点H，则，可证明△CFP≌△CHE，得∠EDC=∠EDB=45°，故可求得∠ADC的大小保持不变，为135°.

（1）证明：，即，

在△ACE和△BCP中

；

（2）∵在中，

，即，

又

，

，

；

（3）过点C分别作CF⊥BD于点F，CH⊥AE于点H，则.

在△CFP与△CHE中，

∵ ∠CFP=∠CHE，

∠HEC=∠FPC，

CP=CE

∴△CFP≌△CHE，

∴CF=CH

∵CF⊥BD，CH⊥AE，

∴CD平分∠EDB，

∴∠EDC=∠EDB=45°，

∴∠ADC=180°-∠EDC=135°，

即∠ADC的大小保持不变，为135°.