Question

【题目】已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，P为劣弧BC上一点(点P与点B，C不重合)．

(1)如果P是劣弧BC的中点，求证：PB＋PC＝PA；

(2)当点P在劣弧BC上移动时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）成立

【解析】（1）连接OB，OC，由P是劣弧BC的中点，得PB=PC，由△ABC为等边三角形知，故可证AP是⊙P的直径， 易证△OBP和△OPC是等边三角形，从而可证明PB＋PC＝PA；

（2）在弦PA上截取PE＝PC，连接CE.证明△CAE≌△CBP即可得出结论

(1)证明：如图①，连接OB，OC.

∵△ABC是⊙O的内接等边三角形，

∴AB＝AC，

∴，

∵P是的中点，

∴，

∴，

∴AP为⊙O的直径．

∵∠BPO＝∠BCA＝60°，且OB＝OP，

∴△OBP是等边三角形，

同理△OPC是等边三角形，

∴PB＝PC＝OP＝OA，

∴PB＋PC＝PA.

(2)(1)中的结论还成立．理由如下：

如图②，在弦PA上截取PE＝PC，连接CE.

∵∠APC＝∠ABC＝60°，

∴△PEC为等边三角形，

∴CE＝CP.

∵∠PCE＝60°，且∠ACB＝60°，

∴∠ACE＝∠BCP.

又∵CA＝CB，

∴△CAE≌△CBP，

∴AE＝PB.

∵AE＋PE＝PA,

∴PB＋PC＝PA.