Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC垂直平分BD，交BD于点F，延长DC到点E，使得CE=DC，连接BE.

（1）求证：四边形ABCD是菱形.

（2）填空：

①当∠ADC= °时，四边形ACEB为菱形；

②当∠ADC=90°，BE=4时，则DE=

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①60 ；②.

【解析】

（1）由“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得四边形ABCD为平行四边形，再由“邻边相等的平行四边形是菱形”证得四边形ABCD是菱形.

（2）①由“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得四边形ABEC为平行四边形，再由“邻边相等的平行四边形是菱形”证得四边形ABEC是菱形，则CA=AD=DC，此时三角形ADC为等边三角形，∠ADC=60°；②当∠ADC=90°时，四边形ABCD为正方形，三角形BCE为等腰直角三角形，因为BE=4，所以由勾股定理得CE= ，.

解：（1）证明：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD ，BF=DF，

∵AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB.

∵∠AFB=∠CFD,∴△AFB≌△CFD （ASA），

∴AB=CD.又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形 .

∵AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形 .

（2）①∵由（1）得：四边形ABCD是菱形，

∴AB=CD,AB//CD,

∵CE是CD的延长线，且CE=CD，

∴由“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得四边形ABEC为平行四边形

∵假设四边形ACEB为菱形，∴AC=CE

∵已知AD=DC，∴AC=DC=AD,即三角形ADC为等边三角形，∴

②∵由（1）得：四边形ABCD是菱形，且∠ADC=90°

∴四边形ABCD为正方形，三角形BCE为直角三角形，

∵CE=CD，∴由勾股定理得CE= ，.