Question

【题目】如图，在ABCD中，BD=2AB，AC与BD相交于点O，点E、F、G分别是OC、OB、AD的中点． 求证：

（1）DE⊥OC；
（2）EG=EF．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，

∴BD=2OD，AB=CD，AD=BC．

∵BD=2AB，

∴OD=AB=CD．

∵点E是OC的中点，

∴DE⊥OC

（2）证明：∵DE⊥OC，点G是AD的中点，

∴EG= AD；

∵点E、F分别是OC、OB的中点．

∴EF= BC．

∵AD=BC，

∴EG=EF

【解析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，根据平行四边形的性质，即可得BD=2OD，AB=CD，AD=BC，又由BD=2AB，可得△ODC是等腰三角形，根据三线合一的性质，即可证得DE⊥OC；（2）由DE⊥OC，点G是AD的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得EG= AD，又由三角形中位线的性质，求得EF= BC，则可证得EG=EF．
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形中位线定理的相关知识，掌握连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半，以及对平行四边形的性质的理解，了解平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．