Question

如图1，已知一次函数y=-

3

4

x+6分别与x、y轴交于A、B两点，过点B的直线BC交x轴负半轴与点C，且OC=

1

2

OB．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）如图2，若△ABC中，∠ACB的平分线CF与∠BAE的平分线AF相交于点F，求证：∠AFC=

1

2

∠ABC；
（3）在x轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C点的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据角平分线的性质，可得∠FCA=

1

2

∠BCA，∠FAE=

1

2

∠BAE，根据三角形外角的关系，可得∠BAE=∠ABC+∠BCA，∠FAE=∠F+∠FCA，根据等式的性质，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，分类讨论：AB=AP=10，AB=BP=10，BP=AP，根据线段的和差，可得AB=AP=10时P点坐标，根据线段垂直平分线的性质，可得AB=BP=10时P点坐标；根据两点间的距离公式，可得BP=AP时P点坐标．

解答：解：（1）当x=0时，y=6，即B（0，6），当y=0时，-

3

4

x+6=0，解得x-8，即A（8，0）；
由OC=

1

2

OB，得OC=3，即C（-3，0）；
设BC的函数解析式为，y=kx+b，图象过点B、C，得

-3k+b=0 b=6

，解得

k=2 b=6

，
直线BC的函数表达式y=2x+6；
（2）证明：∵∠ACB的平分线CF与∠BAE的平分线AF相交于点F，
∴∠FCA=

1

2

∠BCA，∠FAE=

1

2

∠BAE．
∵∠BAE是△ABC的外角，∠FAE是△FAC的外角，
∴∠BAE=∠ABC+∠BCA，∠FAE=∠F+∠FCA．
∴

1

2

∠ABC+

1

2

∠BCA=∠F+

1

2

∠BCA，

1

2

∠BCA=∠F；
（3）当AB=AP=10时，8-10=-2，P₁（-2，0），
8+10=18，P₂（18，0）；
当AB=BP=10时，AO=PO=8，即P₃（-8，0）；
设P（a，0），当BP=AP时，平方，得BP²=AP²，即（8-a）²=a²+6²
化简，得16a=28，解得a=

7

4

，
P₄（

7

4

，0），
综上所述：P₁（-2，0），P₂（18，0），P₃（-8，0）；P₄（

7

4

，0）．

点评：本题考查了一次函数综合题，（1）利用了函数值与自变量的关系求出A、B、C的值又利用了待定系数法求函数解析式；（2）利用了角平分线的性质，三角形外角的性质，（3）利用了等腰三角形的定义，分类讨论是解题关键．