【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=4cm,若点P从点A出发,以每秒1cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动,设运动时间为t(t>0)秒.
(1)AC= cm;
(2)若点P恰好在∠ABC的角平分线上,求此时t的值;
(3)在运动过程中,当t为何值时,△ACP为等腰三角形(直接写出结果)
【答案】(1)3;(2)t的值为或5s;(3)当t=或3或或6s时,△ACP为等腰三角形.
【解析】
(1)利用勾股定理求解即可;(2)作∠ABC的平分线与AC的交点确定点P,利用全等得PC=PD,再用勾股定理求得PC的长,点P的运动路线长即可求出,由此解得t值(3)分四种情况,找到P点,即可求出t的值.
解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=4cm,
∴AC==3cm.
(2)如图,过P作PD⊥AB于D,
∵BP平分∠ABC,∠C=90°,
∴PD=PC,
又∵BP=BP,
∴Rt△BDP≌Rt△BCP,
∴BD=BC=4,
∴AD=5﹣4=1,
设PD=PC=y,则AP=3﹣y,
在Rt△ADP中,AD2+PD2=AP2,
∴12+y2=(3﹣y)2,
解得y=,
∴CP=,
∴t=5+4+=;
当点P与点B重合时,点P也在∠ABC的角平分线上,
此时,t=5;
综上所述,点P恰好在∠ABC的角平分线上,t的值为或5s;
(3)分四种情况:
①如图①,当AP=CP时,则∠A=∠ACP,
∵∠A+∠B=900,∠ACP+∠BCP=900,
∴∠B=∠BCP
∴BP=CP=AP
∴AP=
∴ t=;
②如图②,当AP=AC=3时,t=3;
③当PC=AC=3时,过点C作CD⊥AB于点D,
∵S△ABC==ABCD
∴5CD=12,
∴CD=,
∴PD=AD=
∴AP=
∴t=;
④当PC=AC=3时,BP=4-3=1,则AB+BP=5+1=6,∴t=6.
综上所述,当t=或3或或6s时,△ACP为等腰三角形.
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【题目】综合与实践:
问题情境:
在数学综合与实践课上,张老师启示大家利用直线、线段以及点的运动变换进行探究活动.变换条件如下:如图 1,直线 AB,AC,BC 两两相交于 A,B,C 三点,得知△ABC是等边三角形,点 E 是直线 AC 上一动点(点 E 不与点 A,C 重合),点 F 在直线 BC上,连接 BE,EF,使 EF=BE.
独立思考:
(1)张老师首先提出了这样一个问题:如图 1,当E是线段 AC 的中点时,确定线段 AE与 CF 的数量关系,请你直接写出结论:AE____ CF(填“>” “<”或“=”).
提出问题:
(2)“奋斗”小组受此问题的启发,提出问题:若点E是线段 AC 上的任意一点,其他条件不变,(1)中的结论是否成立?该小组认为结论仍然成立,理由如下:如图 2,过点 E作 ED∥BC,交 AB 于点 D. (请你补充完整证明过程)
拓展延伸:
(3)“缜密”小组提出的问题是:动点E的运动位置如图3,图4所示,其他条件不变,根据题意补全图形,并判断线段AE与CF的数量关系是否发生变化? 请你选择其中一种予以证明.
(4)“爱心”小组提出的问题是:若等边△ABC 的边长为 ,AE=1,则BF 的长为__________.(请你直接写出结果).
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【题目】如图,已知△ABC的三个顶点分别为A(2,3)、B(4,2)、C(﹣2,﹣3)
(1)写出A点关于x轴对称的点的坐标 ;写出B点关于y轴对称的点的坐标 .
(2)请在图中作出△ABC关于x轴对称的△DEF(A、B、C的对应点分别是D、E、F);
(3)求三角形ABC的面积.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A(4,2),与y轴的负半轴交于点B,且OB=6.
(1)求函数y=和y=kx+b的解析式;
(2)已知直线AB与x轴相交于点C,在第一象限内,求反比例函数y=的图象上一点P,使得S△POC=9.
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【题目】如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA,OB相交于M、N两点,则以下结论:(1)PM=PN恒成立,(2)OM+ON的值不变,(3)四边形PMON的面积不变,(4)MN的长不变,
其中正确的为__________(请填写结论前面的序号).
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【题目】如图,点P在⊙O的直径AB的延长线上,PC为⊙O的切线,点C为切点,连接AC,过点A作PC的垂线,点D为垂足,AD交⊙O于点E.
(1)如图1,求证:∠DAC=∠PAC;
(2)如图2,点F(与点C位于直径AB两侧)在⊙O上,,连接EF,过点F作AD的平行线交PC于点G,求证:FG=DE+DG;
(3)在(2)的条件下,如图3,若AE=DG,PO=5,求EF的长.
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【题目】在一次数学课上,张老师出示了一个题目:“如图,ABCD的对角线相交于点O,过点O作EF垂直于BD交AB,CD分别于点F,E,连接DF,BE.请根据上述条件,写出一个正确结论.”其中四位同学写出的结论如下:
小青:OE=OF;小何:四边形DFBE是正方形;
小夏:S四边形AFED=S四边形FBCE;小雨:∠ACE=∠CAF.
这四位同学写出的结论中不正确的是( )
A. 小青 B. 小何 C. 小夏 D. 小雨
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【题目】如图,直线AC上取点B,在其同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ,连接AE,CD与GF,下列结论正确的有( )
① AE DC;②AHC120;③△AGB≌△DFB;④BH平分AHC;⑤GF∥AC
A.①②④B.①③⑤C.①③④⑤D.①②③④⑤
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