Question

【题目】某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系满足：m=﹣2t+96．且未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1=t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y2=﹣t+40（21≤t＜40且t为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题

（1）请分别写出未来40天内，前20天和后20天的日销售利润w（元）与时间t的函数关系式；

（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）w=；（2）第19天日销售利润最大，最大利润为841元；（3）0.5≤a＜4．

【解析】

（1）根据利润（w）=日销售量（m） 价格差（-20）分别计算即可得出前20天和后20天的日销售利润w（元）与时间t的函数关系式；（2）根据二次函数的性质，求出（1）中的两个二次函数的最大值进行比较即可；（3）根据题意得出扣除捐赠后的利（w）与时间（t）的解析式，找出对称轴进行分析即可，

（1）当1≤t≤20且t为整数时，

w=（t+25﹣20）（﹣2t+96）

=﹣t2+38t+480；

当21≤t＜40且t为整数时，

w=（﹣t+40﹣20）（﹣2t+96）

=t2﹣88t+1920，

综上w=．

（2）当1≤t≤20且t为整数时，w=﹣t2+38t+480=﹣（t﹣19）2+841，

此时当t=19时，w取得最大值841；

当21≤t＜40且t为整数时，w=t2﹣88t+1920=（t﹣44）2﹣16，

∵t＜44时，w随t的增大而减小，

∴当t=21时，w取得最大值，最大值为513；

综上，第19天日销售利润最大，最大利润为841元．

（3）根据题意知，扣除捐款后的利润w=﹣t2+38t+480﹣（﹣2t+96）a

=﹣t2+（38+2a）t+480﹣96a

∴﹣1＜0，且对称轴t=19+a，

因为t为整数，所以函数图象是为20个分布在抛物线上的散点，要使日销售利润随时间t增大而增大，

则要求对称轴19+a≥19.5，

解得a≥0.5，

又a＜4，

则0.5≤a＜4．