【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0)、B(1,0)、C(0,3)三点,其顶点为D,连接AD,点P是线段AD上一个动点(不与A、D重合),过点P作y轴的垂线,垂足点为E,连接AE.
(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)如果P点的坐标为(x,y),△PAE的面积为S,求S与x之间的函数关系式,直接写出自变量x的取值范围,并求出S的最大值;
(3)在(2)的条件下,当S取到最大值时,过点P作x轴的垂线,垂足为F,连接EF,把△PEF沿直线EF折叠,点P的对应点为点P′,求出P′的坐标,并判断P′是否在该抛物线上.
【答案】(1)、y=﹣x2﹣2x+3;D(-1,4);(2)、S﹣x2﹣3x(﹣3<x<﹣1),当x=﹣时,S取最大值;(3)、∴P′(,),不在抛物线上
【解析】
试题分析:(1)、由抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0)、B(1,0)、C(0,3)三点,则代入求得a,b,c,进而得解析式与顶点D.(2)、由P在AD上,则可求AD解析式表示P点.由S△APE=PEyP,所以S可表示,进而由函数最值性质易得S最值.(3)、由最值时,P为(﹣,3),则E与C重合.画示意图,P'过作P'M⊥y轴,设边长通过解直角三角形可求各边长度,进而得P'坐标.判断P′是否在该抛物线上,将xP'坐标代入解析式,判断是否为yP'即可.
试题解析:(1)、∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0)、B(1,0)、C(0,3)三点,
∴, 解得:, ∴解析式为y=﹣x2﹣2x+3
∵﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4, ∴抛物线顶点坐标D为(﹣1,4).
(2)、∵A(﹣3,0),D(﹣1,4), ∴设AD为解析式为y=kx+b,有, 解得,
∴AD解析式:y=2x+6, ∵P在AD上, ∴P(x,2x+6),
∴S△APE=PEyP=(﹣x)(2x+6)=﹣x2﹣3x(﹣3<x<﹣1),当x=﹣时,S取最大值.
(3)、如图1,设P′F与y轴交于点N,过P′作P′M⊥y轴于点M,
∵△PEF沿EF翻折得△P′EF,且P(﹣,3), ∴∠PFE=∠P′FE,PF=P′F=3,PE=P′E=,
∵PF∥y轴, ∴∠PFE=∠FEN, ∵∠PFE=∠P′FE, ∴∠FEN=∠P′FE, ∴EN=FN,
设EN=m,则FN=m,P′N=3﹣m. 在Rt△P′EN中, ∵(3﹣m)2+()2=m2, ∴m=.
∵S△P′EN=P′NP′E=ENP′M, ∴P′M=. 在Rt△EMP′中
∵EM=, ∴OM=EO﹣EM=, ∴P′(,).
当x=时,y=﹣()2﹣2+3=0.39≠, ∴点P′不在该抛物线上.
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【题目】在下列网格图中,每个小正方形的边长均为1个单位.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.
(1)试在图中做出△ABC以A为旋转中心,沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1;
(2)若点B的坐标为(﹣3,5),试在图中画出直角坐标系,并标出A、C两点的坐标;
(3)根据(2)的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2,并标出B2、C2两点的坐标.
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【题目】已知:如图,△ABC中,∠ABC=90°,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E , DF⊥BC于点F . 求证:四边形DEBF是正方形.
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【题目】为提高课堂效率,引导学生积极参与课堂教学,鼓励学生大胆发言,勇于发表自己的观点促进自主前提下的小组合作学习,张老师调查统计了一节课学生回答问题的次数(如图所示)这次调查统计的数据的众数和中位数分别是( )
A.众数2,中位数3
B.众数2,中位数2.5
C.众数3,中位数2
D.众数4,中位数3
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【题目】我市某学校开展“远是君山,磨砺意志,保护江豚,爱鸟护鸟”为主题的远足活动.已知学校与君山岛相距24千米,远足服务人员骑自行车,学生步行,服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍,服务人员与学生同时从学校出发,到达君山岛时,服务人员所花时间比学生少用了3.6小时,求学生步行的平均速度是多少千米/小时.
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