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【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(3,0)、B(1,0)、C(0,3)三点,其顶点为D,连接AD,点P是线段AD上一个动点(不与A、D重合),过点P作y轴的垂线,垂足点为E,连接AE.

(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;

(2)如果P点的坐标为(x,y),PAE的面积为S,求S与x之间的函数关系式,直接写出自变量x的取值范围,并求出S的最大值;

(3)在(2)的条件下,当S取到最大值时,过点P作x轴的垂线,垂足为F,连接EF,把PEF沿直线EF折叠,点P的对应点为点P,求出P的坐标,并判断P是否在该抛物线上.

【答案】(1)、y=x22x+3;D(-1,4);(2)、Sx23x(3<x<1),当x=时,S取最大值;(3)、P),不在抛物线上

【解析】

试题分析:(1)、由抛物线y=ax2+bx+c经过A(3,0)、B(1,0)、C(0,3)三点,则代入求得a,b,c,进而得解析式与顶点D.(2)、由P在AD上,则可求AD解析式表示P点.由SAPE=PEyP,所以S可表示,进而由函数最值性质易得S最值.(3)、由最值时,P为(,3),则E与C重合.画示意图,P'过作P'My轴,设边长通过解直角三角形可求各边长度,进而得P'坐标.判断P是否在该抛物线上,将xP'坐标代入解析式,判断是否为yP'即可.

试题解析:(1)、抛物线y=ax2+bx+c经过A(3,0)、B(1,0)、C(0,3)三点,

解得: 解析式为y=x22x+3

∵﹣x22x+3=(x+1)2+4, 抛物线顶点坐标D为(1,4).

(2)、A(3,0),D(1,4), 设AD为解析式为y=kx+b,有 解得

AD解析式:y=2x+6, P在AD上, P(x,2x+6),

SAPE=PEyP=x)(2x+6)=x23x(3<x<1),当x=时,S取最大值

(3)、如图1,设PF与y轴交于点N,过P作PMy轴于点M,

∵△PEF沿EF翻折得PEF,且P(,3), ∴∠PFE=PFE,PF=PF=3,PE=PE=

PFy轴, ∴∠PFE=FEN, ∵∠PFE=PFE, ∴∠FEN=PFE, EN=FN,

设EN=m,则FN=m,PN=3m. 在RtPEN中, (3m)2+(2=m2 m=

SPEN=PNPE=ENPM, PM= 在RtEMP

EM= OM=EOEM= P).

当x=时,y=22+3=0.39 点P不在该抛物线上.

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