Question

【题目】如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA＝∠B.

(1)求证：CF是⊙O的切线；

(2)若AE＝4，tan∠ACD＝，求FC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析

【解析】分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCF=90°，进而得出答案；
（2）根据正切的性质求出EC的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形的性质，利用勾股定理求出即可．

详解：(1)证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，∴∠OCB＋∠ACO＝90°.

∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB.

又∵∠FCA＝∠B，∴∠FCA＝∠OCB，

∴∠FCA＋∠ACO＝90°，即∠FCO＝90°，

∴FC⊥OC，

∴FC是⊙O切线．

(2)解：∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴EC=，

设OA＝OC＝r，则OE＝OA－AE＝r－4.

在Rt△OEC中，OC2＝OE2＋CE2，

即r2＝(r－4)2＋(4)2，解得r＝8.

∴OE＝r－4＝4＝AE.

∵CE⊥OA，∴CA＝CO＝8，

∴△AOC是等边三角形，

∴∠FOC＝60°，∴∠F＝30°.

在Rt△FOC中，

∵∠OCF＝90°，OC＝8，∠F＝30°，

∴OF＝2OC＝16，

∴FC＝.