Question

正方形ABCD中过点B作一条直线l与AD交于点M，分别过A、C、D作直线l的垂线，垂足分别为E、F、G．求证：CF=AE+DG．

Answer 1

考点：正方形的性质

专题：

分析：作DN⊥CF于N，先求得四边形DGFN是矩形，从而求得FN=DG，然后根据正方形的性质求出AB=CD，进而求得∠BAE=∠CBF=∠DCN，∠AEB=∠DNC，证△ABE≌△CDN，推出AE=CN，即可证得结论．

解答：证明：如图，作DN⊥CF于N，
∵AE⊥直线l，CF⊥直线l，
∴四边形DGFN是矩形，
∴FN=DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，
∵AE⊥直线l，CF⊥直线l，
∴∠CFB=∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠CBF=∠BAE，
∵∠BCF+∠DCN=∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠CBF=∠DCN，
∴∠BAE=∠DCN，
在△ABE和△CDN中，

∠BAE=∠DCN ∠AEB=∠DNC=90° AB=CD

∴△ABE≌△CDN（AAS），
∴AE=CN，
∴CN+FN=AE+DG，
即CF=AE+DG．

点评：本题考查了矩形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是推出AE=CN，FN=GD．