Question

【题目】如图，已知△BAD≌△EBC，∠BAD=∠BCE=90°，∠ABD=∠BEC=30°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．

（1）如图1，当A，B，E三点在同一直线上时，判断AC与CN数量关系为________；

（2）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转到图2位置时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由；

（3）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转一周，旋转过程中△CAN能否为等腰直角三角形？若能，直接写出旋转角度；若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）AC=CN；（2）成立，证明见解析；（3）△CAN能成为等腰直角三角形，此时旋转角为60°．

【解析】

（1）根据平行线的性质可得∠NEM=∠ADM，由中点的定义可得DM=EM，利用ASA可证明△ADM≌△NEM，可得AD=NE，根据全等三角形的性质可得AD=BC，AB=CE，根据等量代换的NE=BC，由∠BEC=30°，可得∠NEC=∠ABC=120°，利用SAS可证明△ABC≌△NEC，即可证明AC=NC，可得答案；

（2）设旋转角为α，同（1）可证明△MEN≌△MDA，可得NE=BC，可利用α表示出∠ABC、∠DBE，根据平行线的性质可用α表示出∠CEN，即可得出∠ABC=∠CEN，利用SAS可证明△ABC≌△CEN，即可证明（1）中结论依然成立；

（3）由△CAN为等腰直角三角形，AC=CN可得∠CAN=90°，设旋转角为，可知旋转过程中∠ABC=120°+，可得∠ABC=180°时，∠CAN=90°，进而求出的度数即可．

（1）AC与CN数量关系为：AC=CN．理由如下：

∵△BAD≌△BCE，

∴BC=AD，EC=AB，

∵EN∥AD，∠DAB=90°，

∴∠MEN=∠MDA．∠BEN=90°，

∵∠BEC=30°，∠BCE=90°，

∴∠CEN=120°，∠ABC=120°，

∴∠CEN=∠ABC，

∵M为DE的中点，

∴MD=ME，

在△MEN与△MDA中，，

∴△MEN≌△MDA（ASA），

∴EN=AD，

∴EN=BC．

在△ABC与△CEN中，，

∴△ABC≌△CEN（SAS），

∴AC=CN．

（2）结论仍然成立．理由如下：

与（1）同理，可证明△MEN≌△MDA，

∴EN=BC．

设旋转角为α，

∴∠ABC=120°+α，

∵∠ABD=30°，

∴∠DBE=150°-α，

∵BD=BE，

∴∠BED=∠BDE=（180°-∠DBE）=15°+α，

∵EN∥AD，

∴∠MEN=∠MDA=∠ADB+∠BDE=60°+（15°+α）=75°+α，

∴∠CEN=∠CEB+∠BED+∠MEN=30°+（15°+α）+（75°+α）=120°+α，

∴∠ABC=∠CEN，

在△ABC与△CEN中，，

∴△ABC≌△CEN（SAS），

∴AC=CN．

（3）如图，设旋转角为，

∵图1中∠ABC=120°，

∴旋转过程中，∠ABC=120°+，

∵△CAN为等腰直角三角形，AC=CN，

∴∠CAN=90°，

∴当∠ABC=180°时，∠CAN=90°，即点A、B、C在一条直线上，点N、E、C在一条直线上．

∴=180°-120°=60°

∴△CAN能成为等腰直角三角形，此时旋转角为60°．